Đề thi Olympic Toán 10 năm 2025 - 2026 cụm trường THPT số 10 - Hà Nội

PHẦN I. TRẢ LỜI NGẮN (10,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 10. Với mỗi câu hỏi, thí sinh viết kết quả vào giấy thi.

Câu 1. (1,0 điểm) Cho hàm số 2 3 1 khi 3 ( )

2 3 5 khi 3

x x f x

x x x

       

. Giá trị của biểu thức    5 2 f f  

bằng bao nhiêu?

Câu 2. (1,0 điểm) Các thành phố A , B , C được nối với nhau bởi các con đường như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ thành phố A đến thành phố C mà qua thành phố B chỉ một lần?

Câu 3. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , đường thẳng   1 2 : , 2 3

x t d t y t

     

 có phương trình

tổng quát là 2 0. ax y b    Hỏi a b  bằng bao nhiêu?

Câu 4. (1,0 điểm) Tam giác ABC có 10 AB  ,  60 C   và  45 A   . Độ dài cạnh BC bằng bao nhiêu?

Câu 5. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm     3 ; 4 , 1 ; 5 , 3 ; 1 ( ) A B C  . Diện tích ABC  bằng bao nhiêu? Câu 6. (1,0 điểm) Cho các tập hợp   [ 1;2 1), A m m A     và ( 2;3)  B . Có bao nhiêu giá trị

nguyên của m để  A B ?

Câu 7. (1,0 điểm) Cho hàm số   2 2 0 y ax bx a     có đồ thị . P Biết rằng đồ thị  P đi qua điểm

  1;5 M và có trục đối xứng là đường thẳng 1 4 x  , hỏi giá trị 2 2 a b  bằng bao nhiêu?

Câu 8. (1,0 điểm) Cho ;x y là các số thực thỏa mãn hệ bất phương trình

0 4

0

1 0

2 10 0

y

x

x y

x y

            

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức F x y   bằng bao nhiêu?

Câu 9. (1,0 điểm) Hộp A chứa 3 quả cầu xanh, 4 quả cầu đỏ và 5 quả cầu trắng. Hộp B chứa 4 quả cầu xanh, 3 quả cầu đỏ và 6 quả cầu trắng. Hộp C chứa 5 quả cầu xanh, 5 quả cầu đỏ và 2 quả cầu trắng. Từ mỗi hộp lấy ra đúng một quả cầu. Có bao nhiêu cách lấy từ 3 hộp được 3 quả cầu có màu giống nhau? Câu 10. (1,0 điểm) Cho hình vuông ABCD có 8 AB  và điểm M tùy ý. Biểu thức

2 T MC MD MA MB MC          

đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

CỤM TRƯỜNG THPT SỐ 10

KỲ THI OLYMPIC DÀNH CHO HỌC SINH

LỚP 10, LỚP 11 NĂM HỌC 2025 – 2026 Môn thi: Toán – Lớp 10 Ngày thi: 4/4/2026 Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm 02 trang)

A B C

ĐỀ CHÍNH THỨC

PHẦN II. TỰ LUẬN (10,0 điểm) Thí sinh trả lời từ câu 11 đến câu 13. Với mỗi câu hỏi, thí sinh trình bày lời giải vào giấy thi.

Câu 11. (3,0 điểm) Cho hàm số 2 3 4 y x x    có đồ thị ( ) P và đường thẳng d có phương trình: 2 y x m   , với m là tham số. a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị ( ) P . b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt ( ) P tại hai điểm phân biệt , A B sao cho 2 2 57, OA OB   với O là gốc tọa độ.

Câu 12. (4,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm   2;3 A ,   1;5 B  và đường thẳng

: 2 1 0 d x y   . a) Viết phương trình tổng quát đường thẳng AB b) Tính khoảng cách từ điểm   2;3 A đến đường thẳng d .

c) Tìm tọa độ điểm C thuộc đường thẳng d và tọa độ điểm D thuộc đoạn thẳng AC , biết rằng

tam giác ABC cân tại B và 5 5 DC  .

Câu 13. (3,0 điểm) Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5, lập được bao nhiêu

a) Số tự nhiên chẵn gồm có 5 chữ số đôi một khác nhau? b) Số tự nhiên gồm 9 chữ số trong đó chữ số 2 xuất hiện ba lần, chữ số 4 xuất hiện hai lần và các

chữ số còn lại mỗi chữ số chỉ xuất hiện đúng một lần?

.

-----------------HẾT----------------- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ tên thí sinh:……………………………………...Số báo danh:…………………………... Họ tên và chữ kí của cán bộ coi thi số 1: Họ tên và chữ kí của cán bộ coi thi số 2: