Đề thi học sinh giỏi Toán 10 năm 2025 - 2026 trường THPT Quảng Trị - Quảng Trị

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ

TRƯỜNG THPT QUẢNG TRỊ

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề gồm 01 trang)

KỲ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ

NĂM HỌC: 2025 - 2026

Môn: Toán. Lớp 10 (Thời gian làm bài: 150 phút)

Họ và tên thí sinh...................................................................................Số báo danh................

Câu 1 (6 điểm):

a. Tìm tập xác định của hàm số

2 4 4 2026 7 6

x y x x x

     

.

b. Cho hàm số 2 3 4 y x x    có đồ thị là ( ) P và đường thẳng d có phương trình: 2 y x m   , với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của m để d cắt ( ) P tại hai điểm phân biệt , A B sao cho

2 2 57 OA OB   , với O là gốc tọa độ. Câu 2 (5 điểm):

a. Giải phương trình   2 2 3 2 1 7 6 5 3 4 x x x x x x x          .

b. Trong năm 2026, một cửa hàng kinh doanh xe máy dự định kinh doanh hai loại xe máy Lead và xe máy Vision, với tổng số vốn ban đầu không vượt quá 36 tỉ đồng. Giá nhập về 1 chiếc xe máy Lead là 40 triệu đồng, lợi nhuận dự kiến là 5 triệu đồng một chiếc. Giá nhập về 1 chiếc xe máy Vision là 30 triệu đồng, lợi nhuận dự kiến là 3,2 triệu đồng một chiếc. Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu thị trường không vượt quá 1100 chiếc xe cả hai loại và nhu cầu xe Lead không vượt quá 1,5 lần nhu cầu xe Vision. Hỏi lợi nhuận có thể thu được lớn nhất của cửa hàng là bao nhiêu tiền? Câu 3 (5 điểm): a. Cho tam giác ABC có trọng tâm G . Gọi , N P lần lượt là các điểm thỏa mãn 2 5 0 BN NC     

và , . PA kPC k    

 Tìm k để 3 điểm , , G P N thẳng hàng. b. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm   2; 3 G  và   1; 1 B . Đường

thẳng : 4 0 x y     đi qua A và đường phân giác trong của góc A cắt BC tại điểm I sao cho diện

tích tam giác IAB bằng 4

5 diện tích tam giác IAC . Biết điểm A có hoành độ dương , viết phương trình

tổng quát của đường thẳng BC . Câu 4 (2 điểm): Cho các số thực ,x y thỏa mãn 2 2 1   x y xy . Gọi , M m lần lượt là giá trị lớn nhất và

nhỏ nhất của biểu thức 4 4 2 2    S x y x y . Tính giá trị của  M m.

Câu 5 (2 điểm): Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số dạng abc thỏa mãn ; ; a b c là độ dài ba cạnh của một tam giác cân (kể cả tam giác đều)?

............................HẾT........................... - Học sinh không được sử dụng tài liệu; - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu 1a 3đ Tìm tập xác định của hàm số

2 4 4 2026 7 6

x y x x x

     

.

Tập xác định của hàm số là      ;1 6; \ 2026 D    3đ

Câu 1b 3đ

Cho hàm số 2 3 4 y x x    có đồ thị là ( ) P và đường thẳng d có phương trình: 2 y x m   , với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của m để d cắt ( ) P tại hai điểm

phân biệt , A B sao cho 2 2 57 OA OB   , với O là gốc tọa độ.

Hoành độ giao điểm của đường thẳng d và ( ) P là nghiệm của phương trình:

2 3 4 2 x x x m    

 2 5 4 0 1 x x m     

25 4.1.( 4) 9 4 m m      Đường thẳng d cắt ( ) P tại hai điểm phân biệt , A B khi và chỉ khi phương trình (1) có hai

nghiệm phân biệt 9 0 9 4 0 (*) 4 m m      

Với điều kiện (*), gọi hai giao điểm của d và ( ) P là 1 1 2 2 ( ;2 ), ( ;2 ) A x x m B x x m   , trong

đó 1 2 , x x là các nghiệm của phương trình (1) .

Theo định lý Viet ta có: 1 2 1 2 5, 4 x x x x m     . (Học sinh có thể không có bước này, các bước sau đúng vẫn được điểm tối đa) Ta có: 2 2 57 OA OB        2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 57 x x m x x m      

    2 2 2 1 2 1 2 5 4 2 57 x x m x x m           2 2 1 2 1 2 1 2 5 10 4 2 57 x x x x m x x m       

2 2 5.5 10( 4) 4 .5 2 57 m m m       2 2 30 28 0 m m    

1

14

m

m

    

.

Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy 14 m  bị loại, 1 m  thỏa mãn yêu cầu đề bài.

0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5

Câu 2a 3đ Giải phương trình   2 2 3 2 1 7 6 5 3 4 x x x x x x x          .

Điều kiện: 2 7 6 0 1 6 x x x       . Với điều kiện đó

Phương trình 2 2 2 ( 1) 7 6 ( 1)(4 ) x x x x x x x            2 2 ( 1) 7 6 4 0 x x x x x      …