Lý thuyết và phân dạng bài tập Toán 12 học kì 1 - Ngô Đức Tài

1 ∠ Ngô Đức Tài - 0889 971 004

Chương I. Ứng dụng đạo hàm đểkhảo sát và vẽđồthịhàm số 2

§1. Tính đơn điệu và cực trịcủa hàm số 2

§2. Giá trịlớn nhất và giá trịnhỏnhất của hàm số 23

§3. Đường tiệm cận của đồthịhàm số 57

§4. Khảo sát sựbiến thiên và vẽđồthịcủa hàm số 80

§5. Ứng dụng đạo hàm đểgiải quyết một sốvấn đềliên quan đến thực tiễn 129

§6. Ôn tập chương 1 141

Chương II. Vectơ và hệtrục tọa độtrong không gian 177

§1. Vectơ trong không gian 177

§2. Hệtrục tọa độtrong không gian 200

§3. Biểu thức tọa độcủa các phép toán vectơ 210

§4. Ôn tập chương 2 231

Chương III. Các sốđặc trưng đo mức độphân tán của mẫu sốliệu ghép nhóm 264

§1. Khoảng biến thiên và khoảng tứphân vị 264

§2. Phương sai và độlệch chuẩn 279

§3. Ôn tập chương 3 287

2 ∠ Ngô Đức Tài - 0889 971 004

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂKHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒTHỊHÀM SỐ

Chương

I

§1 §1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊCỦA HÀM SỐ

I. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

1) Tính đơn điệu của hàm số

☼Định nghĩa: Cho hàm sốy = f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng).

Ghi nhớ1

Hàm sốđồng biến trên K nếu

∀x1, x2 ∈K : x1 < x2 ⇒f(x1) < f(x2)

O x

y

x1

f(x1)

x2

f(x2)

Trên K, đồthịlà một "đường đi lên" khi xét từtrái sang phải.

Ghi nhớ2

Hàm sốnghịch biến trên K nếu

∀x1, x2 ∈K : x1 < x2 ⇒f(x1) > f(x2)

O x

y

x1

f(x1)

x2

f(x2)

Trên K, đồthịlà một "đường đi xuống" khi xét từtrái sang phải.

☼Liên hệgiữa đạo hàm và tính đơn điệu: Cho hàm sốy = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b).

• Nếu f ′(x) > 0, ∀x ∈(a; b) thì hàm sốy = f(x) đồng biến trên (a; b).

• Nếu f ′(x) < 0, ∀x ∈(a; b) thì hàm sốy = f(x) nghịch biến trên (a; b).

LƯU Ý. • Nếu f ′(x) ≥0, ∀x ∈(a; b) và f ′(x) = 0 chỉxảy ra tại hữu hạn điểm thì hàm sốy = f(x) đồng biến trên (a; b).

• Nếu f ′(x) ≤0, ∀x ∈(a; b) và f ′(x) = 0 chỉxảy ra tại hữu hạn điểm thì hàm sốy = f(x) nghịch biến trên (a; b).

• Nếu f ′(x) = 0, ∀x ∈(a; b) thì hàm sốy = f(x) không đổi trên (a; b).

3 ∠ Ngô Đức Tài - 0889 971 004

§1. Tính đơn điệu và cực trịcủa hàm số

Các bước đểxét tính đơn điệu của hàm sốy = f(x);

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Tính đạo hàm f ′(x). Tìm các điểm xi(i = 1, 2, . . .) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 3. Sắp xếp các điểm xi theo thứtựtăng dần và lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 4. Nếu kết luận vềkhoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

2) Cực trịcủa hàm số

☼Định nghĩa: Cho hàm sốy = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) ( a có thểlà −∞, b có thểlà +∞) và điểm x0 ∈(a; b).

• Nếu tồn tại sốh > 0 sao cho f(x) < f (x0) với mọi x ∈(x0 −h; x0 + h) ⊂(a; b) và x ̸= x0 thì ta nói hàm sốf(x) đạt cực đại tại x0.

• Nếu tồn tại sốh > 0 sao cho f(x) > f (x0) với mọi x ∈(x0 −h; x0 + h) ⊂(a; b) và x ̸= x0 thì ta nói hàm sốf(x) đạt cực tiểu tại x0.

☼Định lý: Giảsửhàm sốy = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng (a; x0) và (x0; b). Khi đó:

• Nếu f ′(x) < 0 với mọi x ∈(a; x0) và f ′(x) > 0 với mọi x ∈(x0; b) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm sốf(x).

• Nếu f ′(x) > 0 với mọi x ∈(a; x0) và f ′(x) < 0 với mọi x ∈(x0; b) thì x0 là một điểm cực đại của hàm sốf(x).

Minh họa cực trịbằng bảng biến thiên:

x

f ′(x)

f(x)

a x0 b

+ − yCĐ

x

f ′(x)

f(x)

a x0 b

− +

yCT

☼Các tên gọi:

x

y

O

y = f(x)

x2

y2

x1

y1

(x1; y1) là điểm cực đại của đồthịhàm số;

• x1 là điểm cực đại của hàm số;

• y1 là giá trịcực đại của hàm số.

(x2; y2) là điểm cực tiểu của đồthịhàm số;

• x2 là điểm cực tiểu của hàm số;

• y2 là giá trịcực tiểu của hàm số.