Phương pháp giải bài toán thực tế bằng bất đẳng thức

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN THỰC TẾ BẰNG BẤT ĐẲNG THỨC 2026

XUÂN PHƯƠNG, HÀ NỘI

PHẠM TRẦN LÊ DUY - TRẦN NHẤT SINH NGUYỄN TRỌNG LONG - BÙI TRẦN XUÂN MINH

Prepared by : Lê Duy

Contact : 096 197 4135 leduyy2712edu@gmail.com

LƯU HÀNH NỘI BỘ

3

LỜI NÓI ĐẦU

Trong quá trình đổi mới giáo dục, đặc biệt là với Chương trình Giáo dục Phổ thông 2018, việc phát triển năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn là một yêu cầu then chốt. Không chỉ dừng lại ở những con số và phương trình khô khan, học sinh ngày nay cần được tiếp cận với những bài toán gắn liền với đời sống. Điều này vừa giúp rèn luyện tư duy logic, vừa kích thích niềm đam mê học tập.

Ở mảng kiến thức này, bất đẳng thức – một chủ đề thường bị xem là hóc búa – thực chất lại là công cụ vô cùng sắc bén để xử lý các bài toán tối ưu một cách tinh tế mà không cần dùng đến công cụ đạo hàm phức tạp. Trong tài liệu này, bất đẳng thức được lồng ghép khéo léo vào các tình huống thực tế có yếu tố tối ưu chi phí, tính toán quãng đường, hay các mô hình hình học phẳng và không gian. Khi được tiếp cận một cách khoa học, những bài toán này không những giúp người học hiểu sâu hơn bản chất của các bất đẳng thức kinh điển (như AM-GM, Bunyakovsky...), mà còn phát triển kỹ năng suy luận và mô hình hóa Toán học – những năng lực cốt lõi của bộ môn.

Xuất phát từ niềm say mê và nhu cầu thực tế đó, chúng tôi biên soạn tài liệu: “Phương Pháp Giải Bài Toán Thực Tế Bằng Bất Đẳng Thức”. Mục tiêu của bộ tài liệu là tuyển chọn, thiết kế và phân tích chi tiết các bài toán tiêu biểu, nhằm giúp học sinh:

• Nắm vững và vận dụng linh hoạt các bất đẳng thức cơ bản. • Thấy rõ vai trò thực tiễn của bất đẳng thức trong việc giải quyết các bài toán tối ưu đời sống (hiệu suất, chi phí, thời gian...). • Nâng cao kỹ năng phân tích đề, thiết lập mô hình Toán học và trình bày lời giải sáng tạo, chặt chẽ.

Cuốn tài liệu nhỏ này xin dành tặng những bộ óc trẻ say mê Toán học, đồng thời cũng là một tài liệu tham khảo tâm huyết gửi đến quý thầy cô. Ước mong rằng đây sẽ là người bạn đồng hành, giúp các bạn học sinh tự tin bứt phá trong những kỳ thi quan trọng.

Hy vọng qua bộ tài liệu này, bất đẳng thức sẽ không còn là rào cản trừu tượng, mà trở thành chiếc "chìa khóa vàng" giúp các bạn chạm đến điểm 10 tuyệt đối – không chỉ trên giấy thi mà còn trong sự trưởng thành về tư duy.

Xin chân thành cảm ơn các bạn:

- Trần Nhất Sinh, TK14, THPT Chuyên Bảo Lộc - Nguyễn Trọng Long, C1K61, THPT Nam Đàn 2 - Bùi Trần Xuân Minh, AK49, THPT Nhị Chiểu

Đã luôn đồng hành, sát cánh chỉnh sửa và cung cấp nhiều tư liệu quý giá. Dù đã dồn nhiều tâm huyết, nhưng vì là sản phẩm đầu tay nên chắc chắn khó tránh khỏi thiếu sót. Nhóm biên soạn rất mong nhận được những lời góp ý chân thành từ quý độc giả để tài liệu ngày một hoàn thiện hơn. Mọi ý kiến đóng góp xin vui lòng gửi qua:

Email: leduyy2712edu@gmail.com

Zalo: 096 197 4135

Hà Nội, tháng 8 năm 2026

Phạm Trần Lê Duy

A1K8, THPT Xuân Phương

4

Mục Lục Trang

Lời nói đầu…………………………………………………………………………………………...3

Chuyên đề 1: Các bất đẳng thức thường gặp và cách chứng minh…………………………………..5

Chuyên đề 2: Kỹ thuật tổng quát giải toán thực tế kết hợp bất đẳng thức…………………………...8

Chuyên đề 3: Bài toán liên quan hình học không gian……………………………………………..14

3.1: Bài toán liên quan đến thể tích, diện tích xung quanh,……………………………..14

3.2: Bài toán liên quan đến các hình đặc biệt……………………………………………46

Chuyên đề 4: Bài toán liên quan đến kinh tế, sự tối ưu…………………………………………….80

Chuyên đề 5: Bài toán liên quan đến hình học phẳng……………………………………………..129

Chuyên đề 6: Tuyển tập các bài toán hay và chọn lọc ……………………………………………193