Tài liệu bổ trợ học tập đường tròn môn Toán 9

5 CHƯƠNG ĐƯỜNG TRÒN

T O Á N V Ũ - T K

BÀI13. MỞĐẦU VỀĐƯỜNG TRÒN

13.1. TRỌNG TÂM KIẾN THỨC

13.1.1. ĐƯỜNG TRÒN

Đường tròn tâm O bán kính R (R > 0), kí hiệu là (O; R), là hình gồm tất

cảcác điểm cách điểm O một khoảng bằng R.

Chú ý

Khi không cần đểý đến bán kính ta kí hiệu đường tròn tâm O là (O).

Nếu A là một điểm của đường tròn (O) ta viết A ∈(O). Khi đó, ta còn nói

đường tròn (O) đi qua điểm A, hay điểm A nằm trên đường tròn (O).

c Nhận xét 13.1. Trên mặt phẳng cho đường tròn (O; R) và điểm M.

Khi đó, ta có các trường hợp sau có thểxảy ra

â Điểm M nằm trên đường tròn (O; R) nếu OM =

R.

â Điểm M nằm trong đường tròn (O; R) nếu

OM < R.

â Điểm M nằm ngoài đường tròn (O; R) nếu

OM > R.

Hình tròn tâm O bán kính R là hình gồm các điểm

nằm trên và nằm trong đường tròn (O; R).

R

O

M

M

M

473 ĐƯỜNG TRÒN 473

Chú ý

Đoạn thẳng AB trong hình bên được gọi là đường

kính của đường tròn O.

O A B

13.1.2. TÍNH ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN

Đường tròn là hình có tâm đối xứng; tâm của đường tròn là tâm đối

xứng của nó.

Đường tròn là hình có trục đối xứng; mỗi đường thẳng đi qua tâm

của đường tròn là một trục đối xứng của nó.

Chú ý

Đường tròn có một tâm đối xứng nhưng có vô sốtrục đối xứng.

13.2. CÁC DẠNG BÀI TẬP

p Dạng : Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn

d Ví dụ373. Cho hình chữnhật ABCD có AB = a, BC = b. Chứng minh rằng bốn điểm

A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm và tính bán kính của đường tròn đó.

| Lời giải.

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Theo tính

chất hai đường chéo của hình chữnhật, ta có OA = OB =

OC = OD Å = 1

2AC = 1

2BD ã .

Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc

Å O; 1

2AC ã

.

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có

AC2 = AB2 + BC2 = a2 + b2.

Do đó R = 1

2AC = 1

2

√

a2 + b2.

A B

O

D C

a

b

□

473 Ô Toán Thầy Vũ – 0984693719

474 ĐƯỜNG TRÒN 474

d Ví dụ374. Cho tam giác ABC, các đường cao BD và CE. Trên cạnh AC lấy điểm M.

Kẻtia Cx vuông góc với tia BM tại F. Chứng minh rằng năm điểm B, C, D, E, F cùng

thuộc một đường tròn.

| Lời giải.

Gọi O là trung điểm của BC. Ta có BD là đường cao nên

BD ⊥AC, hay tam giác BDC vuông tại D.

Trong tam giác vuông BDC có DO là trung tuyến ứng với

cạnh huyền BC nên

OD = OB = OC = 1

2BC (1)

Tương tự, ta có OE = OB = OC = 1

2BC. (2)

và OF = OB = OC = 1

2BC. (3)

Từ(1), (2) và (3) suy ra OB = OC = OD = OE = OF.

Do đó năm điểm B, C, D, E, F cùng thuộc đường tròn

(O; R) với R = 1

2BC.

A

D

x

M

B

E

C

F

O

□

d Ví dụ375. Chứng minh rằng bốn trung điểm của bốn cạnh hình thoi cùng thuộc một

đường tròn.

| Lời giải.

Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của bốn

cạnh AB, BC, CD và DA của hình thoi ABCD.

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có AC ⊥

BD. Theo tính chất đường trung tuyến ứng với

cạnh huyền của tam giác vuông, ta được OM = 1 2AB; ON = 1

2BC; OP = 1

2CD; OQ = 1

2AD.

Mặt khác AB = BC = CD = DA nên OM =

ON = OP = OQ. Do đó bốn điểm M, N, P, Q

cùng nằm trên một đường tròn.

B

D

A C

M N

Q

O

P

□

p Dạng : Xác định vịtrí tương đối của điểm M với đường tròn (O)

d Ví dụ376.

474