Đề khảo sát HSG Toán 8 lần 1 năm 2025 - 2026 trường THCS TT Bến Sung - Thanh Hóa

UBND XÃ NHƯ THANH TRƯỜNG THCS TT BẾN SUNG

KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 8

LẦN 1, NĂM HỌC 2025-2026

MÔN THI: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ BÀI

Câu 1 (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức:

2 2

2 2 1 1 2 : 2 1 1 x x x x P x x x x x x   + + − = + +   − + − −  

Câu 2 (2,0 điểm) Cho các số thực , , a b c thỏa mãn 1 + + = ab bc ca . Tính giá trị của

biểu thức 2 2 2

2 1 1 1 = + + − + + − + + + a b c M a b c abc a b c .

Câu 3 (2,0 điểm) Tìm x biết:

2 2 2

2 3 3 9 6 7 0 2 2 4 x x x x x x + − −     + − =     − + −    

Câu 4 (2,0 điểm) Trong một cái hộp có 5 quả bóng trắng, 6 quả bóng xanh và 7 quả bóng đỏ. Lấy ngẫu nhiên trong hộp ra cùng một lúc 4 quả. Tính xác suất để 4 quả lấy ra có đủ cả 3 màu. Câu 5 (2,0 điểm) Tìm cặp số nguyên x, y thoả mãn: ( ) ( ) 2 2 3 3 2y 2x 1 2x 2y 1 1 x y . + − + + =

Câu 6 (1,5 điểm) Một xe ô tô cần chạy quãng đường 80km trong thời gian đã dự định. Vì trời mưa nên một phần tư quãng đường đầu xe phải chạy chậm hơn vận tốc dự định là 15km/h nên quãng đường còn lại xe phải chạy nhanh hơn vận tốc dự định là 10km/h. Tính thời gian dự định của xe ô tô đó. Câu 7 (1,5 điểm) Một bạn học sinh có tờ giấy màu hình tam giác ABC có AB = 3 cm; AC = 4 cm; BC = 5 cm. Em muốn cắt ra hình chữ nhật MNPQ sao cho M, N thuộc cạnh BC, P thuộc cạnh AC, Q thuộc cạnh AB. Hãy xác định các kích thước của hình chữ nhật MNPQ để tờ giấy màu cắt ra có diện tích lớn nhất. Câu 8 (4,0 điểm) Cho tứ giác ABCD. Gọi E, I lần lượt là trung điểm của AC và BC;M là điểm đối xứng với I qua E. 1/ Chứng minh tứ giác ABIM là hình bình hành. 2/ Gọi N, F lần lượt là trung điểm của AD và BD; K là điểm đối xứng với I qua F. Chứng minh: ba đường thẳng IN; MF; KE đồng quy.

Câu 9 (1,5 điểm) Cho đoạn thẳng BC cố định và một điểm A thay đổi sao cho tam giác ABC vuông tại A. Hai đường phân giác trong BD, CE của tam giác ABC cắt

nhau tại I. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng

2 2

2 2 BD CE S BI CI = + .

Câu 10 (1,5 điểm). Cho tập hợp gồm 36 số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 36. Chứng minh rằng trong 25 phần tử bất kỳ của tập hợp A luôn tìm được 3 phần tử là 3 số đôi một nguyên tố cùng nhau.

………...HẾT………..

HƯỚNG DẪN CHẤM Câu/ý Nội dung Điểm

Câu 1. (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức:

2 2

2 2 1 1 2 : 2 1 1 x x x x P x x x x x x   + + − = + +   − + − −  

1

2 2

2 2 1 1 2 : 2 1 1 x x x x P x x x x x x   + + − = + +   − + − −  

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

2

2

2 2

2

2

2

1 1 1 2 : 1 1 1

1 1 2 : 1 1

1 1 . 1 1

1

x x x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x

x x

x x

  + + − = + +   − − −     + −+ + − = − −

+ − = + −

= −

KL

0,5 0,5 0,5 0,5 Câu 2. (2,0 điểm) Cho các số thực , , a b c thỏa mãn 1 + + = ab bc ca . Tính giá trị của

biểu thức 2 2 2

2 1 1 1 = + + − + + − + + + a b c M a b c abc a b c .

2

Do 1 ab bc ca + + = nên có ( )( ) 2 2 1 a a ab bc ca a b a c + = + + + = + +

Tương tự ( )( ) 2 1 b a b b c + = + + ; ( )( ) 2 1 c a c b c + = + +

( )

( ) ( ) ( )( )

( )( )( )

2 2 1

a b c abc a ab bc ca b c abc

a b c b c a b c

a b b c a c

+ + − = + + + + −

= + + + = + +

= + + +

Do đó

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )

2

2 2 2 0

a b c M a b a c a b b c a c b c a b b c c a

a b c b c a c a b ab bc ca a b b c c a a b b c c a

= + + − + + + + + + + + +

+ + + + + − + + − = = = + + + + + +

0,5 0,5 0,5 0,5

Câu 3. (2,0 điểm) Tìm x, biết:

2 2 2

2 3 3 9 6 7 0 2 2 4 x x x x x x + − −     + − =     − + −    

3

( )( ) ( )( )

2 2 2 2 2

2

3 3 3 3 9 3 3 6 7 0 6 7 0 2 2 4 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x − + + − − + −         + − =  + − =         − + − − + − +        

Đặt 3 3 ; 2 2 x x u v x x + − = = − + ,

0,5