Đề KSCL học sinh giỏi Toán 8 lần 2 năm 2025 - 2026 cụm THCS Lâm-Văn-Kiều - Nghệ An

TRƯỜNG THCS LÂM, VĂN, KIỀU ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH KHÁ, GIỎI

NĂM HỌC: 2025-2026

Môn: Toán 8 (lần 2) Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1. (2,5 điểm)

a) Chứng minh rằng nếu tổng lập phương của 3 số nguyên chia hết cho 9 thì tồn tại một trong 3 số đó là bội của 3.

b) Số điện thoại cố định dùng để tiếp dân của xã X, tỉnh Nghệ An là số có dạng

biết là số chính phương. Tìm 4 số cuối của số điện thoại đó. Câu 2. (6,0 điểm)

a) Giải phương trình: ( ) ( ) 4 2 2 2 2 4 1 4x 1 5x x x x x − + + − + =

b) Cho hai số ,a b phân biệt thỏa mãn

2 2 a 2026a b 2026b c − = − = , với c là một số thực

dương. Chứng minh rằng: 1 1 2026 0 a b c + + = .

Câu 3. (1,5 điểm). Người ta giăng lưới để nuôi riêng một loại cá trên một góc hồ. Biết rằng lưới được giăng theo một đường thẳng từ một vị trí trên bờ ngang đến một vị trí trên bờ dọc và phải đi qua một cái cọc đã cắm sẵn ở vị trí A. Hỏi diện tích nhỏ nhất có thể giăng là bao nhiêu, biết rằng khoảng cách từ cọc đến bờ ngang là 5 m và khoảng cách từ cọc đến bờ dọc là 12 m. Câu 4. (2,0 điểm). Hai bạn Phúc và Lộc chơi một trò chơi như sau: Phúc chọn ngẫu nhiên một số trong tập hợp {5; 6; 7; 8; 9; 10}; Lộc chọn ngẫu nhiên một số trong tập hợp {4; 5; 7; 8; 9; 11}. Bạn nào chọn được số lớn hơn sẽ là người thắng cuộc. Nếu hai số chọn được bằng nhau thì kết quả là hòa. Tính xác suất của biến cố A: “Bạn Phúc thắng”. Câu 5. (7,0 điểm). Cho ABC ∆ vuông cân tại B, gọi O là trung điểm của AC, trên cạnh AB lấy điểm M bất kỳ ( M khác A và B), vẽ  0 90 ( ) = ∈ MON N BC . a) Chứng minh: MA = NB b) Qua C kẻ đường thẳng song song với AB, Qua B kẻ đường thẳng song song với MN, hai đường thẳng này cắt nhau tại E, ON cắt BE tại K.

Chứng minh rằng: KN là tia phân giác  BKC

c) Tia phân giác  EKC cắt CE tại H. Chứng minh: KC KN BE KB KH CK + =

Câu 6. (1,0 điểm). Cho một lớp học có 35 học sinh, các học sinh này tổ chức một số câu lạc bộ các môn học. Mỗi học sinh tham gia đúng một câu lạc bộ. Nếu chọn ra 10 học sinh bất kì thì luôn có ít nhất 3 học sinh tham gia cùng một câu lạc bộ. Chứng minh có một câu lạc bộ gồm ít nhất 9 học sinh.

--------HẾT---------

Họ và tên:.........................................Số báo danh:..................

HƯỚNG DẪN CHẤM

Môn thi: TOÁN 8 Câu Nội dung cần đạt Điểm Câu 1a

(1,5 đ)

Gọi a, b, c ∈ Z Theo bài ra: a3 + b3 + c3  9 Mà có: a3 – a + b3 – b + c3 – c = a(a – 1)(a + 1) + b(b – 1)(b + 1) + c(c – 1)(c + 1) 3 ⇒ a + b+ c 3 a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)( a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) = (a + b + c)[(a + b + c)2 – 3(ab + bc + ca)] 9 ⇒ abc3. Mà 3 là số nguyên tố → đpcm

0,25 0,25

0,5

0,25 0,25

Câu 1b

(1,0 đ)

Ta có =1000a + 100a +10 b + b với 0 < a 9 và 0 b 9

1100a + 11b = 11(100a + b)

Vì 11 là số nguyên tố và là số chính phương nên 100a + b 11

99a + a +b 11

=> a + b 11

Mà 0< a +b 18 nên a + b =11

Ta có 11 = 2 + 9 = 3 + 8 = 4 + 7 = 5 + 6

Mà là số chính phương nên b

Suy ra

Lại có là số chính phương nên số thoả mãn là 7744

0,25

0,25

0,25

0,25

Câu 2a

(3,0 đ)

Đặt

2 2 2 ( 1) ; x x a x b − + = = ( 0; 0) a b ≥ ≥

2 2 0 4 5 ( ) 5 ( ) 0 ( )( 5 ) 0 5 0

− =  ⇒ + = ⇔ − + − = ⇔ − + = ⇔+ = 

a b a ab b a a b b a b a b a b a b

0 a b − = a b ⇔ = ( ) 2 2 2 1 x x x ⇔ − + = ( ) 2 2

2 2 1 1 0 1 1 1 0

  − + = − = ⇔ ⇔ ⇔ =   − + = −  + =  

x x x x x x x x x

Vì 0, 0 5 0 a b a b ≥ ≥ ⇒ + ≥. Dấu “=” xảy ra 0 0 =  ⇔= 

a b

2 2

2 ( 1) 0

0

 − + =  ⇔ = 

x x

x

2 0 0 1 0

0

 − + = ⇔= x (Vô lí)⇒Loại

Vậy S={1}

0,5

0,5

0,5 0,5

0,5

0,5