Toán thực tế phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz - Phạm Thanh Tú

BỘTÀI LIỆU ÔN THI H-SCA ANH TÚ DẠY TOÁN

CHINH PHỤC KÌ THI H-SCA MÔN TOÁN

KÌ THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC CHUYÊN BIỆT HCMUE

HCMUE Specialized Competency Assessment

TÀI LIỆU CHUYÊN ĐỀ

TOÁN THỰC TẾVỀOXYZ

Thực hiện biên soạn Zalo Tiktok

Phạm Thanh Tú 0382164170 Anh Tú Dạy Toán

Tài Liệu Lưu Hành Nội Bộ

ANH TÚ DẠY TOÁN H-SCA Chinh Phục Kì Thi ĐGNLCB Môn Toán

Mục lục

1 TỌA ĐỘĐIỂM, VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN 2

1.1 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 BÀI TẬP ÁP DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 10

2.1 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 BÀI TẬP ÁP DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 14

3.1 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2 BÀI TẬP ÁP DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU 20

4.1 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.2 BÀI TOÁN PHƯƠNG TÍCH CỦA MỘT ĐIỂM VỚI MẶT CẦU . . . . . . . . . . . 20

4.3 BÀI TẬP ÁP DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 26

Toán Học Là Âm Nhạc Của Lý Trí Zalo: 0382164170 1

ANH TÚ DẠY TOÁN H-SCA Chinh Phục Kì Thi ĐGNLCB Môn Toán

1 TỌA ĐỘĐIỂM, VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN

1.1 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

?

?

?

⃗?

ሬ⃗?

ሬ⃗?

?

• Trong không gian, cho ba trục ??, ??, ??đôi một vuông góc. Gọi ⃗?, ሬ⃗?, ሬ⃗?lần lượt là ba vectơ đơn

vịtrên các trục ??, ??và ??. Hệba trục như vậy được gọi là hệtrục tọa độDescartes vuông góc

????trong không gian hay đơn giản là hệtọa độ????.

• Trong không gian ????, cho điểm ?. Nếu ሬሬሬሬሬሬሬ⃗ ??= ?⃗?+ ?ሬ⃗?+ ?ሬ⃗?thì ta gọi bộba số(?; ?; ?) là tọa

độcủa điểm ?đối với hệtrục tọa độ????và viết ?= (?; ?; ?) hoặc ?(?; ?; ?) trong đó ?là

hoành độ, ?là tung độ, ?là cao độcủa điểm ?.

• Trong không gian ????cho vectơ ሬ⃗?. Nếu ሬ⃗?= ?1⃗?+ ?2ሬ⃗?+ ?3ሬ⃗?thì ta gọi bộba số(?1; ?2; ?3) là

tọa độcủa vectơ ሬ⃗?đối với hệtọa độ????và viết ሬ⃗?= (?1; ?2; ?3) hoặc ሬ⃗?(?1; ?2; ?3).

• Tọa độcủa điểm ?là tọa độcủa vectơ ሬሬሬሬሬሬሬ⃗ ??, tức là

?= (?; ?; ?) ⇔ሬሬሬሬሬሬሬ⃗ ??= (?; ?; ?)

• Điều kiện đểhai vectơ bằng nhau: Cho ሬ⃗?= (?; ?; ?), ሬ⃗?= (?′; ?′; ?′). Khi đó:

ሬ⃗?= ሬ⃗?⇔

⎧⎪

⎨⎪⎩

?= ?′

?= ?′

?= ?′

• ሬሬሬሬሬ⃗ ??= (??−??; ??−??; ??−??)

• Chiếu điểm ?(?; ?; ?) lên mặt phẳng toạđộhoặc hệtrục toạđộthì thành phần bịkhuyết bằng 0.

Chẳng hạn: ?(1; 2; 3) chiếu lên ???thì ?= 0 nên hình chiếu khi đó là ?1(1; 2; 0).

• Tứgiác ????là hình bình hành khi và chỉkhi ሬሬሬሬሬሬ⃗ ??= ሬሬሬሬሬ⃗ ??.

• Toạđộcác điểm đặc biệt:

• ?∈??⇒?(?; 0; 0) • ?∈??⇒?(0; ?; 0) • ?∈??⇒?(0; 0; ?)

• ?∈(???) ⇒?(?; ?; 0) • ?∈(???) ⇒?(?; 0; ?) • ?∈(???) ⇒?(0; ?; ?)

Toán Học Là Âm Nhạc Của Lý Trí Zalo: 0382164170 2

ANH TÚ DẠY TOÁN H-SCA Chinh Phục Kì Thi ĐGNLCB Môn Toán

• Trong không gian ????, cho hai vectơ ሬ⃗?= (?; ?; ?) và ሬ⃗?= (?′; ?′; ?′). Khi đó ta có:

– ሬ⃗?+ ሬ⃗?= (?+ ?′; ?+ ?′; ?+ ?′)

– ሬ⃗?−ሬ⃗?= (?−?′; ?−?′; ?−?′)

– ?ሬ⃗?= (??; ??; ??) với ?là một sốthực.

• Trong không gian ????, tích vô hướng của hai vectơ ሬ⃗?= (?; ?; ?) và ሬ⃗?= (?′; ?′; ?′) được xác

định bởi công thức: ሬ⃗?⋅ሬ⃗?= ??′ + ??′ + ??′

– Hai vectơ ሬ⃗?và ሬ⃗?vuông góc với nhau khi và chỉkhi ??′ + ??′ + ??′ = 0.

– Nếu ሬ⃗?= (?; ?; ?) thì |ሬ⃗?| = ඥሬ⃗?⋅ሬ⃗?= ඥ?2 + ?2 + ?2.

– Nếu ሬ⃗?= (?; ?; ?) và ሬ⃗?= (?′; ?′; ?′) là hai vectơ khác ሬ⃗0 thì

cos(ሬ⃗?, ሬ⃗?) = ሬ⃗?⋅ሬ⃗?

|ሬ⃗?| ⋅|ሬ⃗?| = ??′ + ??′ + ??′

ඥ?2 + ?2 + ?2 ⋅ඥ?′2 + ?′2 + ?′2

• Trong không gian ????, toạđộtrung điểm và trọng tâm được xác định như sau:

■Toạđộtrung điểm ?của đoạn thẳng ??là ?൬??+ ??

2 ; ??+ ??

2 ; ??+ ??

2 ൰

■Toạđộtrọng tâm ?của tam giác ???là ?൬??+ ??+ ??

3 ; ??+ ??+ ??

3 ; ??+ ??+ ??

3 ൰

Kĩ năng chuẩn hóa vectơ trong không gian Oxyz

Bài toán gốc: Cho điểm ?bất kì biết tọa độ. Sau thời gian ?điểm ?di chuyển theo vectơ định hướng ⃗?

với tốc …