Ứng dụng của cấp số trong bài toán hình học - Nguyễn Sỹ Thái

CHUYÊN ĐỀ: ỨNG DỤNG CỦA CẤP SỐ TRONG BÀI TOÁN HÌNH HỌC

Tác giả: Thái Nguyễn

Ngày 23 tháng 6 năm 2026

Tóm tắt nội dung

Bạn có bao giờtựhỏi làm thếnào đểđo lường và tính toán sựvô hạn? Trong thếgiới hình học, có những cấu trúc kỳdiệu mang tính tựđồng dạng1 - nơi một chi tiết nhỏbé lại chính là bản sao hoàn hảo của toàn bộhình khối. Từnhững chiếc lá dương xỉtrong tự nhiên, bông tuyết Koch tuyệt mỹ, cho đến những bài toán dãy tam giác, hình vuông lồng nhau chằng chịt, tất cảđều ẩn chứa một quy luật toán học rất quen thuộc: cấp sốnhân.

(a) Dương xỉBarnsley (b) Bông tuyết Koch (c) Tấm thảm Sierpinski

Chuyên đềnày sẽcung cấp cho bạn chiếc chìa khóa đểkết nối hai phân môn tưởng chừng biệt lập: Hình học và Cấp số. Bằng cách nhận diện tỉsốđồng dạng, chúng ta sẽ biến bài toán tính tổng chu vi, diện tích của vô sốhình phức tạp thành bài toán tính tổng của một cấp sốnhân quen thuộc. Hi vọng tài liệu sẽcung cấp cho bạn hướng tư duy mạch lạc đểgiải quyết các câu hỏi phân loại trong các kỳthi và đồng thời mởra cho bạn một góc nhìn đầy tính thẩm mỹvềToán học.

1Mặc dù có nhắc đến nhưng đây không phải tài liệu vềhình học Fractal.

Chuyên đề: Ứng dụng cấp sốvào bài toán hình học Trung tâm luyện thi 29Edu

Mục lục

1 Bài toán mởđầu 3

2 Cơ sởlý thuyết 4 2.1 Tính lặp lại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2 Phép đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.3 Cấp sốnhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Các mô hình bài toán hình học cấp sốđiển hình 6 3.1 Bài toán tấm thảm Sierpinski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.2 Bài toán bông tuyết của Von Koch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Bài tập tựluyện 11

Tài liệu tham khảo 22

Đăng ký học toán HSA/SPT/THPT: 037 752 9025 2

Chuyên đề: Ứng dụng cấp sốvào bài toán hình học Trung tâm luyện thi 29Edu

1 Bài toán mởđầu

Liệu có một hình nào có diện tích hữu hạn nhưng lại có chu vi vô hạn không?

Bông tuyết Von Koch (được nhà toán học người Thụy Điển Helge von Koch giới thiệu năm 1904) là một trong những hình có cấu trúc tựđồng dạng đầu tiên được mô tả. Nó được tạo thành bằng các bước sau đây:

• Bước 1 (n = 1): Bắt đầu với một tam giác đều cạnh 1 đơn vị.

• Bước 2 (n = 2): Chia mỗi cạnh của tam giác thành 3 đoạn bằng nhau. Xóa đoạn ởgiữa và thay thếbằng hai đoạn thẳng tạo thành một tam giác đều nhỏhướng ra ngoài.

• Bước n (n ≥3): Tiếp tục lặp lại quá trình trên, thay thếđoạn thẳng ởgiữa của mỗi cạnh bằng một "mũi nhọn"tam giác đều hướng ra ngoài.

Gọi Pn và Sn lần lượt là chu vi và diện tích của bông tuyết ởbước thứn, thì bằng các biến đổi toán học, ta sẽcó:

Pn = P1 · qn−1 = 3 · 4

3

n−1

Sn = 2 √

3 5 −3 √

3 20

4

9

n−1

Nếu bạn thửtính giới hạn khi ta lặp lại các bước trên vô sốlần (n →∞) thì limPn = ∞còn limSn = 2 √

3 5 . Tức là: mặc dù diện tích của hình này là hữu hạn nhưng chu vi của nó lại lớn tới mức không thểđo đếm được. Thật kì diệu phải không? Ta sẽcùng tìm hiểu và chứng minh nhé!

Đăng ký học toán HSA/SPT/THPT: 037 752 9025 3