Đề KSCL học sinh giỏi Toán 7 đợt 1 năm 2025 - 2026 cụm THCS Lâm-Văn-Kiều - Nghệ An

TRƯỜNG THCS LÂM, VĂN, KIỀU

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH KHÁ GIỎI

ĐỢT 1- NĂM HỌC 2025-2026

Môn thi: Toán (lớp 7) Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1 (4,0 điểm): Thực hiện các phép tính

a) 3 1 3 1 M 17 . 12 . 5 5 5 25   = − +    

b)

( ) ( )

12 5 6 2 10 3 5 2

6 3 9 3 2 4 5 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 N 125.7 5 .14 2 .3 8 .3

− − = − + +

Câu 2 (5,5 điểm): a) Tìm x, biết: x 3 x 2 2 224 + − =

b) Tìm các số x,y,z biết rằng x y z 2 3 4 = = và x+2y – 3z = -20

c) Ba đơn vị kinh doanh vận tải cùng góp vốn đầu tư theo hình thức mua cổ phần. Lúc đầu, số cổ phần dự định chia cho ba đơn vị tỉ lệ với 7, 8, 9. Tuy nhiên, sau đó do có sự thay đổi về chính sách, số cổ phần được chia lại theo tỉ lệ 6, 7, 8. Chính vì sự thay đổi này, có một đơn vị đã nhận được ít hơn so với dự định ban đầu là 12 cổ phần. Tính tổng số cổ phần mà ba đơn vị đã mua và số cổ phần mỗi đơn vị nhận được thực tế. Câu 3 (4,5 điểm): a) Chứng minh rằng: Với mọi số nguyên dương n thì: n 2 n 2 n n 3 2 3 2 + + − + − chia hết cho 10

b) Tìm x để biểu thức 2028 x M x 2025 − = − có giá trị lớn nhất?

c) Tìm số nguyên x và y biết: 4 y 1 x 5 10 + =

Câu 4 (6,0 điểm): 1. Cho tam giác PQK, M là trung điểm của QK. Trên tia đối của của tia MP lấy điểm E sao cho ME = MP. Chứng minh rằng: a) PK = EQ và PK // QE. b) Gọi I là một điểm trên PK; J là một điểm trên EQ sao cho PI = EJ . Chứng minh ba điểm I , M , J thẳng hàng. 2. Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC. Tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D. Chứng minh rằng: DB < DC.

.........................Hết.............................

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI KSCL HỌC SINH GIỎI CẤP XÃ

NĂM HỌC 2025 - 2026

Môn thi: Toán 7

Câu Ý Nội dung chính Điểm

1 (4,0)

2 a (2đ)

3 1 3 1 M 17 . 12 . 5 5 5 25 3 1 3 1 17 . 12 . 5 5 5 5

3 1 3 1 17 . 12 . 5 5 5 5

3 1 3 1 17 . 12 . 5 5 5 5 3 3 1 17 12 . 5 5 5 1 ( 5).5 1

  = − +          = + − + +                 = − + + +                 = − − + +           = − − + +    

= −

= −

0,5

0,5

0,5

0,5

b (2đ)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

10

12 5 6 2 10 3 5 2

6 3 9 3 2 3 5

12 5 12 4 10 3 4

12 6 12 5 9 3 9 3 3

12 4 10 3

12 5 9 3 3

10 3 12 4

12 5 9 3

2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 N 125.7 5 .14 2 .3 16 .3

2 .3 2 .3 5 .7 5 .7 2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7 2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 7 2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 2

5 .7 . 6 2 .3 .2 2 .3 .4 5 .7 .9 1 10 7 6 3 2

− − = − + +

− − = − + + − − = − + +

− = −

− = − =

0,5

0,5

0,5

0,5

2 (5,5 đ)

a (2đ)

x 3 x

x 3

x

x

x 5

2 2 224

2 (2 1) 224

2 .7 224

2 32

2 2 x 5

+ − =

− =

=

=

= =

Vậy x= 5

0,5

0,5

0,5 0,5

b (2đ)

Ta có: x y z 2 3 4 = =

Suy ra x 2y 3z x 2y 3z 20 : 2 6 12 2 6 12 4 + − − = = = = + − − (T/c dãy tỷ số bằng nhau)

x 10;y 15;z 20 ⇒ = = =

1,0 1,0

c (1,5đ)

Gọi tổng số cổ phần 3 đơn vị cùng mua là x ( x N;x 0 ∈ ≠ ) Số cổ phần dự định chia cho 3 đơn vị lúc đầu lần lượt là: a, b, c

Ta có: a b c a b c x 7x 8x 9x a ;b ;c (1) 7 8 9 24 24 24 24 24 + + = = = = ⇒ = = =

Số cổ phần sau đó chia cho 3 đơn vị lần lượt là a’, b’, c’, ta có:

' ' ' ' ' ' ' ' ' a b c a b c x 6x 7x 8x a ;b ;c (2) 6 7 8 21 21 21 21 21 + + = = = = ⇒ = = =

So sánh (1) và (2) ta có: a > a’; b = b’; c < c’ nên đơn vị thứ 3 nhận nhiều hơn lúc đầu

Vậy: c’ – c = 12 hay 8x 9x x 12 12 x 2016 21 24 168 − = ⇒ = ⇒ =

Suy ra: ' ' ' 6.2016 7.2016 8.2016 a 576;b 672;c 768 21 21 21 = = = = = =

Vậy tổng số cổ phần 3 đơn vị đã mua là 2016 cổ phần và số cổ phần mỗi đơn vị nhận được thực tế lần lượt là 576 cổ phần; 672 cổ phần; 768 cổ phần .

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

3 (4,5 đ)

a (1,5đ)

Ta có: n 2 n 2 n n 3 2 3 2 + + − + − = n 2 n n 2 n (3 3 ) (2 2 ) + + + − + = n 2 n 2 3 (3 1) 2 (2 1) + − +

n n n n 1 3 10 2 5 3 10 2 10 − = ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ = 10.(3n -2n -1) Vậy n 2 n 2 n n 3 2 3 2 + + − + −  10 với mọi n là số nguyên dương.

0,25 0,25

0,5 0,5

b (1,5đ)

Ta có:

( ) x 2025 2028 x 2025 3 x 3 M x 2025 x 2025 (x 2025) x 2025 3 M 1 x 2025

− − − + − = = = + − − − −

= −+ −

Để M đạt giá trị lớn nhất thì 3 2023 x − phải có …