Các kĩ thuật đếm nâng cao trong bài toán tổ hợp và xác suất - Mai Thành Luân

Tài liệu gồm 225 trang, được biên soạn bởi tác giả Mai Thành Luân, hướng dẫn áp dụng các kĩ thuật đếm nâng cao trong bài toán tổ hợp và xác suất. LỜI NÓI ĐẦU : Trong chương trình Toán phổ thông, Tổ hợp – Xác suất thường được xem là một trong những chuyên đề gây nhiều trở ngại nhất. Điều đáng nói là trở ngại ấy hiếm khi đến từ khối lượng công thức, bởi số công thức cần dùng thực ra rất khiêm tốn. Khó khăn nằm ở chỗ khác: cùng một phép đếm nhưng mỗi đề bài lại khoác cho nó một lớp vỏ riêng — khi thì những cuốn sách xếp trên giá, khi thì các viên bi trong hộp, lúc lại là một quân cờ di chuyển trên bàn cờ. Người học giải trọn vẹn được bài này nhưng lúng túng trước bài kia, và không ít bạn đi tới một kết luận vội vàng rằng mình thiếu tư duy tổ hợp. Thực tế thường không phải như vậy. Thứ còn thiếu không phải năng khiếu, mà là một hệ thống đủ rõ để nhìn xuyên qua lớp vỏ của đề bài và nhận ra kĩ thuật nằm bên dưới. Tài liệu này được biên soạn nhằm xây dựng chính khả năng đó. Sách được tổ chức thành hai phần. Phần I trình bày các kĩ thuật đếm nâng cao theo trình tự từ nền tảng đến phức tạp: bó, hoán vị lặp, hoán vị vòng, truy hồi, chia kẹo, bao hàm – loại trừ cùng nhiều kĩ thuật khác. Mỗi chương mở đầu bằng tư tưởng cốt lõi, tiếp đến là các bài tập chọn lọc được giải theo từng bước, và khép lại mỗi bài là một ghi chú nêu những cái bẫy thường gặp cùng cách kiểm tra kết quả bằng một hướng tiếp cận khác. Phần II tập hợp các câu hỏi trích từ đề thi của các trường trung học phổ thông, trường chuyên và Sở Giáo dục và Đào tạo, nơi những kĩ thuật ở Phần I được vận dụng trong điều kiện thực tế của một kì thi. Về phương pháp học, có một nguyên tắc đáng được đặt lên hàng đầu: hiểu bản chất trước, ghi nhớ sau. Một lời giải được thuộc lòng mà không kèm theo lí do — vì sao phải chia cho k!, vì sao cần loại trường hợp chữ số 0 đứng đầu, vì sao dùng tổ hợp thay cho chỉnh hợp — sẽ mất hiệu lực ngay khi đề thay đổi một chi tiết nhỏ. Ngược lại, khi đã nắm được mỗi công thức đang đếm điều gì, mỗi phép chia đang khử đi sự lặp nào, và mỗi giả thiết của đề tương ứng với ràng buộc nào trên các biến, thì việc chuyển từ bài toán này sang bài toán khác trở nên tự nhiên. Khi nền tảng đã vững, việc ghi nhớ có chọn lọc mới phát huy tác dụng. Một số kết quả kinh điển thực sự xứng đáng được thuộc, vì chúng trở đi trở lại dưới rất nhiều hình dạng: bài toán chia kẹo Euler, số mất thứ tự, cách chọn các phần tử không kề nhau trên vòng tròn, hay xác suất để hai người ngồi cạnh nhau quanh một bàn tròn. Ghi nhớ những kết quả này không mâu thuẫn với việc hiểu bản chất — đó đơn giản là chuẩn bị sẵn công cụ để không phải dựng lại từ đầu trong phòng thi. Tài liệu sẽ phát huy hiệu quả cao nhất nếu người học che phần lời giải và tự làm bài trong khung xanh lá trước, chỉ đối chiếu với khung hồng sau khi đã có đáp số của riêng mình hoặc đã thực sự bế tắc. Các hộp ghi chú cũng rất đáng được đọc kĩ: phần lớn điểm số bị mất trong phòng thi không đến từ việc thiếu công thức, mà đến từ đúng những cái bẫy được nhắc tới ở đó. Mong rằng quyển sách sẽ là người bạn đồng hành hữu ích, và hơn thế, giúp người đọc tìm thấy vẻ đẹp riêng của chuyên đề này. MỤC LỤC : PHẦN I. CÁC KĨ THUẬT ĐẾM NÂNG CAO 3. Chương 1. Kĩ năng bó trong bài toán đếm 4. Chương 2. Kĩ năng hoán vị lặp 12. Chương 3. Kĩ năng hoán vị vòng và phép quay tạo lặp 18. Chương 4. Tư duy cây điều kiện và truy hồi 25. Chương 5. Kĩ năng tính tổng các số tự nhiên lập được 32. Chương 6. Bài toán chia đồ vật cho các đối tượng phân biệt 38. Chương 7. Chia đồ vật vào các hộp giống nhau 42. Chương 8. Xác suất Bernoulli – dãy phép thử độc lập 47. Chương 9. Tư duy và kĩ năng gộp phép thử 53. Chương 10. Chia kẹo có điều kiện 58. Chương 11. Kĩ năng đánh số thứ tự (đổi biến chỉ số) 61. Chương 12. Kĩ năng xử lí ước nguyên dương 68. Chương 13. Xác suất có điều kiện và tư duy gộp phép thử 76. Chương 14. Nguyên lí bao hàm – loại trừ 81. Chương 15. Kĩ năng đếm nhân tố hình học trong đa giác 87. Chương 16. Kĩ năng cân bằng phần tử khoá 98. Chương 17. Kĩ năng phân tập trong bài toán đếm 105. PHẦN II. TỔ HỢP XÁC SUẤT TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ 116.