Đề Olympic 274 lớp 8 môn Toán năm 2022 2023 phòng GD ĐT Phú Mỹ BR VT

1

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THỊ XÃ PHÚ MỸ

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI OLYMPIC 27/4 NĂM HỌC 2022-2023

MÔN: TOÁN LỚP 8

Thời gian làm bài: 120 phút

Ngày thi: 21 tháng 02 năm 2023

Bài 1 (5,0 điểm):

a) Cho 1 3 x x + = . Tính giá trị của biểu thức 2 2 1 A x x = + .

b) Phân tích đa thức 3 2 4 x x − − thành nhân tử.

c) Xác định các số hữu tỷ p và q để đa thức 3x px q + + chia hết cho đa thức 2 2 3 x x − −

Bài 2 (2,5 điểm): Cho biểu thức

3 2

2 3 1 1 : 1 1 x x C x x x x x   − − = −   − − − +  

a) Rút gọn biểu thức C.

b) Tính giá trị của biểu thức C khi

2 2 1 3 9 x   − =    

Bài 3 (3,0 điểm):

a) Giải phương trình: 2022 2021 2020 1 2023 1 2 3 2022 2023 x x x x x − − − − + + +⋅⋅⋅⋅⋅+ + = .

b) Tìm các cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn đẳng thức 2 3 xy x y − + = .

Bài 4 (3,0 điểm):

a) Chứng minh rằng

2 ( 11) n n + chia hết cho 6 với mọi n Z ∈ .

b) Trong 43 học sinh làm bài kiểm tra, không có học sinh nào bị điểm dưới 2, chỉ có 2 học sinh đạt điểm 10. Chứng minh rằng ít nhất cũng tìm được 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau (điểm kiểm tra là một số tự nhiên).

c) Cho ,x y là hai số thực thỏa mãn 4 0 x y + + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ( ) ( ) 3 3 2 2 3 10 2 x y x y xy P + + + + = .

Bài 5 (5,0 điểm):

Vẽ ra phía ngoài của tam giác ABC các hình vuông ABDE và ACFG. Vẽ hình bình hành EAGK. Chứng minh rằng:

a) AK = BC.

b) AK ⊥ BC.

c) Các đường thẳng KA, BF, CD đồng qui.

Bài 6 (1,5 điểm):

Trên đường thẳng cho các điểm A, B, C, D xếp theo thứ tự đó và AB = CD. Cho M là điểm bất kì không nằm trên đường thẳng AB. Chứng minh rằng: MA + MD > MB + MC.

______Hết______

Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh ....................................................................... Số báo danh ................................

Chữ ký của giám thị 1 ................................................................

2

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THỊ XÃ PHÚ MỸ

KỲ THI OLYMPIC 27/4 NĂM HỌC 2022-2023

MÔN: TOÁN LỚP 8

Ngày thi: 21 tháng 02 năm 2023

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 8

I. Hướng dẫn chung:

1) Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với các ý cơ bản học sinh phải trình bày, nếu học sinh giải theo cách khác mà đúng và đủ các bước thì vẫn cho điểm tối đa.

2) Điểm toàn bài là tổng điểm của các ý, các câu và không làm tròn.

II. Đáp án và thang điểm:

Bài Câu Nội dung trình bày Điểm

Bài 1 (5,0 điểm):

a) Cho 1 3 x x + = . Tính giá trị của biểu thức 2 2 1 A x x = +

b) Phân tích đa thức 3 2 4 x x − − thành nhân tử.

c) Xác định các số hữu tỷ p và q để đa thức 3x px q + + chia hết cho đa thức 2 2 3 x x − −

1.

(5.0đ)

a)

(1.5đ)

2 2 2 2 1 1 1 A 2 3 2 7 x x x x x x   = + = + −⋅⋅ = − =    

0,5x3

b)

(2.0đ)

3 2 4 x x − − ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 2 2 4 x x x x x = − + − + − 1,0

( ) 2 2 ( 2) 2( 2) x x x x x = − + − + − ( )( ) 2 2 2 x x x = − + + 0,5x2

c)

(1.5đ)

2 2 3 ( 3)( 1) x x x x − − = − + 0,5

Gọi thương khi chia 3x px q + + cho 2 2 3 x x − − là Q(x). Do dư 0 nên ta có:

3 x px q + + = 2 ( 2 3). ( ) x x Q x − −

Hay 3 ( 3)( 1). ( ) x x px q x Q x − + + + =

0,25

Vì đẳng thức đúng với mọi x nên lần lượt cho 3, 1 x x = = − ta được:

27 3 0 3 27 7

1 0 1 6

p q p q p

p q p q q

+ + = + = − = −    ⇔ ⇔    −− + = − + = = −   

Vậy với p= -7; q= -6 thì 3x px q + + chia hết cho 2 2 3 x x − −

0,75

Bài 2 (2,5 điểm): Cho biểu thức

3 2

2 3 1 1 : 1 1 x x C x x x x x   − − = −   − − − +  