Đề học kì 2 (HK2) lớp 9 môn Toán năm 2022 2023 trường THCS Trưng Vương Hà Nội

1

HƯỚNG DẪN CHẤM CHO ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHUNG

+) Điểm toàn bài để lẻ đến 0,25. +) Các cách làm khác nếu đúng vẫn cho điểm tương ứng với biểu điểm của hướng dẫn chấm. +) Bài IV, nếu học sinh vẽ MN ≥ MP mà lập luận đúng thì trừ 0,25 điểm hình vẽ. +) Hướng dẫn chấm gồm 03 trang.

Bài Ý Đáp án Điểm

Bài I 2,0 điểm

1)

Tính giá trị của biểu thức M khi 9. x = 0,5

Thay 9 x = (TMĐK) vào biểu thức M . 0,25

Tính được 9 1 4. 9 2 M + = = −

0,25

2)

Chứng minh 2. 2 x N x + = −

1,0

2 8 4 2 2 x N x x x = + + − − +

= ( 2) 2( 2) 8 ( 2)( 2) x x x x x + + − + − +

0,25

=

( )( )

4 4

2 2

x x

x x

+ +

+ −

0,25

=

2 ( 2) ( 2)( 2) x x x + + −

0,25

= 2 2 x x + −

0,25

3)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M P N = . 0,5

Tìm được 1 1 1 2 2 M x P N x x + = = = − + +

.

Ta có 2 2 x + ≥ 0, 4 x x ∀≥ ≠

Vậy 1 1 2 2 x ≤ +

Suy ra 1 1 1 1 1 2 2 2 P x = − ≥− = +

0,25

Vậy Min 1 2 P = khi 0 x = . 0,25

2

Bài II 2,0 điểm

1)

Tính diện tích của hội trường. 1,5 Gọi chiều dài phòng hội trường trước khi sửa là x (m). Gọi chiều rộng phòng hội trường trước khi sửa là y (m). Điều kiện 0 y x < < 0,25

Diện tích phòng hội trường cũ là xy ( 2 m ) Tăng chiều dài thêm 2m và tăng chiều rộng thêm 3m, chiều dài mới là x + 2 (m), chiều rộng mới là y + 3 (m). Khi đó, diện tích hội trường tăng thêm 90 2 m , vậy ta có phương trình (x + 2)(y + 3) = xy + 90  3x+2y = 84

0,25

Tăng chiều dài thêm 3m và tăng chiều rộng thêm 2m, chiều dài mới là x + 3 (m), chiều rộng mới là y + 2 (m). Khi đó, diện tích hội trường tăng thêm 87 2 m , vậy ta có phương trình (x+3)(y+2) = xy + 87  2x + 3y = 81

0,25

Ta có hệ phương trình 3 2 84

2 3 81

x y

x y

+ =   + = 

0,25

Giải phương trình tìm được (x; y) = (18; 15). 0,25 Đối chiếu điều kiện và tính diện tích. Vậy diện tích hội trường lúc đầu là 270 2 m . 0,25

2)

Tính thể tích của trái bóng. 0,5 Diện tích bề mặt trái bóng 2 4 576 S R π π = =  R = 12 cm

 3 4 2304 7234,56 3 V R π π = = ≈ ( 3 cm )

0,25

Vậy 7234,56 V ≈ 3 ( ) cm . 0,25

Bài III 2,5 điểm

1)

Giải phương trình 4 2 7 12 0 x x − + = 1,0

 4 2 2 3 4 12 0 x x x − − + = 0,25

 2 2 ( 3)( 4) 0 x x − − =

 2 3 0 x − = hoặc 2 4 0 x − = .

0,25

 3 x = ± hoặc 2 x = ± 0,25

Kết luận: { 2; 3; 3;2} S = − − 0,25

2a)

Chứng minh (1) luôn có hai nghiệm phân biệt 0,75

2 (2 1) 1 0 x m x m − − + −= (1) Tính được 2 4( 1) 1 m ∆= − + . 0,25

Chỉ ra 0 ∆> với mọi giá trị của m. 0,25 Suy ra phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt. 0,25

2b)

Tìm tất cả giá trị của m để 3 3 2 1 2 2 x x m m + = − . 0,75

Ta có: 1 2 , x x là hai nghiệm của phương trình (1).

Theo định lý Vi-ét, ta có:

1 2

1 2

2 1. . 1

x x m

x x m

+ = −   = − 

0,25

3

Từ đó 3 3 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 ( )( ) x x x x x x x x + = + − +

= 2 1 2 1 2 1 2 ( )[( ) 3 ] x x x x x x + + −

= 2 ] (2 1)[(2 1) 3( 1) − − − − m m m = 2 (2 1)(4 7 4) m m m − − +

0,25

Suy ra 2 2 2 (2 1)(4 7 4) m m m m m − = − − +  2 (2 1)(4 8 4) 0 m m m − − + =

 1 2 m = hoặc 1 m =

0,25

Bài IV 3,0 điểm

1)

Chứng minh rằng 4 điểm N, C, B, P cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm J của đường tròn đó. 1,0

Vẽ đúng hình đến ý 1). 0,25

Chỉ ra  90o NCP = . Suy ra C thuộc đường tròn đường kính NP. 0,25

Chỉ ra  90o NBP = . Suy ra C thuộc đường tròn đường kính NP. 0,25

Vậy 4 điểm N, C, B, P cùng thuộc đường tròn đường kính NP, tâm J là trung điểm NP.

0,25

2)

Chứng minh . . IB IC IN IP = .

0,75

Vì NCBP là tứ giác nội tiếp. Suy ra   NPC NBC = 0,25

Chỉ ra ~ INB ICP ∆ ∆ . Suy ra tỉ lệ cạnh IN IB IC IP = 0,25

Suy ra IB.IC = IN.IP 0,25

3)

Chứng minh   KMC KBC = và ba điểm K, H, J thẳng hàng. 1,25

Chỉ ra   KMN KPN = Suy ra ~ INM IKP ∆ ∆ Dẫn tới . . IN IP IK IM =

0,25

Do đó . . . . IN IP IK IM IB IC = = 0,25