Đề chọn học sinh giỏi lớp 9 môn Toán THCS năm 2022 2023 sở GD ĐT Vĩnh Phúc

1

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2022-2023

ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1. Cho biểu thức ( )( ) ( )( ) ( )( )

2 2 2 2

1 1 1 1 x y x y P x y y x y x x y = − − + − + + + − .

a. Rút gọn biểu thức . P b. Tìm các số nguyên ,x y thỏa mãn 2. P =

Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba đường thẳng ( ) 2 1 : 2 1, d y x m = − + ( ) 2 2 : d y x m m = − −

và ( ) 2 3 : 3 2. d y x m m = − − + Biết ( ) 1d cắt ( ) 2 d và ( ) 3 d lần lượt tại 1 1 ( ) ; A x y và 2 2 . ; ( ) B x y

Tìm m để 2 2 1 2 1 2 320. ( ) ( ) x x y y + − − =

Câu 3. Cho đa thức ( ) 3 2 . P x x ax bx c = + + + Biết ( ) P x chia hết cho ( ) 2 x − và ( ) P x chia cho ( ) 2 1 x −

thì dư là 2 .x Tính ( ) 3 . P

Câu 4. Giải phương trình

2 2 3 5 2 3 12 14 x x x x − + − = − + .

Câu 5. Giải hệ phương trình ( ) 2 3 2

2 2 7 7 4 ( , ) 3 8 4 8

x y x y x y x x y x y y x

 + = + + + +  ∈  + + + =  .

Câu 6. Cho tam giác ABC vuông tại , A có đường cao là . AH Gọi ,I K lần lượt là trung điểm của các cạnh , . AB AC Tính chu vi tam giác IHK biết 18 , 32 . BH cm CH cm = = Câu 7. Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến , BM CN cắt nhau tại điểm . G Gọi K là một

điểm trên cạnh , BC đường thẳng 1 ( ) d đi qua K và song song với CN cắt AB tại , D đường thẳng

2 ( ) d đi qua K và song song với BM cắt AC tại . E Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng KG và

. DE Chứng minh rằng I là trung điểm của đoạn thẳng . DE

Câu 8. Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ là AB và . BC BD = Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng

. CD Đường thẳng ( ) d đi qua điểm H cắt các đường thẳng , AC AD lần lượt tại , E F sao cho D nằm

giữa A và . F Chứng minh rằng  . DBF EBC =

Câu 9. Một cửa hàng bán bưởi Đoan Hùng với giá bán mỗi quả là 50000 đồng. Với giá bán này thì mỗi

ngày cửa hàng chỉ bán được 40 quả. Cửa hàng dự định giảm giá bán, ước tính nếu cửa hàng cứ giảm mỗi

quả 1000 đồng thì số bưởi bán tăng thêm được là 10 quả mỗi ngày. Xác định giá bán để cửa hàng thu

được lợi nhuận cao nhất, biết rằng giá nhập về ban đầu cho mỗi quả bưởi là 30000 đồng.

Câu 10. Cho ba số thực dương , , a b c thỏa mãn 2 2 2 1. a b c + + = Chứng minh

3 3 3

2 2 2 2. a b c b bc c a + + > − +

---------- Hết ----------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:………………………………………….…............. Số báo danh:…….……….

ĐỀ CHÍNH THỨC

2

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2022 – 2023

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN

( Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) I) Hướng dẫn chung:

1) Hướng dẫn chấm chỉ nêu một cách giải với những ý cơ bản, nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm nhưng vẫn đúng thì cho đủ số điểm từng phần như thang điểm quy định. 2) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện với tất cả giám khảo. 3) Điểm toàn bài tính đến 0,25 điểm. Sau khi cộng điểm toàn bài, giữ nguyên kết quả. 4) Với bài hình học nếu học sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm phần đó. II) Đáp án và thang điểm: Câu Nội dung trình bày Điểm

1

Cho biểu thức ( )( ) ( )( ) ( )( )

2 2 2 2

1 1 1 1 x y x y P x y y x y x x y = − − + − + + + − .

a. Rút gọn biểu thức . P

1,5

ĐK: 1

1

x y

x

y

≠−  ≠−   ≠ 

0,25

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

2 2 2 2 1 1

1 1

x x y y x y x y P x y x y

+ − − − + = + + −

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

3 3 2 2 2 2

1 1

x y x y x y x y

x y x y

+ + − − + = + + − 0,5

( )( ) ( )( )( )

2 2 2 2

1 1

x y x y x xy y x y

x y x y

+ − + − + − = + + − 0,25

( )( )( )( ) ( )( )( )

1 1 1 1 x y x y x xy y x y x y + + − + − = + + − 0,25

x xy y = + − 0,25 b. Tìm các số nguyên ,x y thỏa mãn phương trình 2. P = 1,0 ( ) 2 1 2 P x y y = ⇔ + = + 0,25

1

1 1 1

y

x y

≠−  ⇔= +  + 

0,25

Vì ,x y ∈nên ( ) 1 y + là ước của 1 1 1 y ⇒ + = hoặc 1 1 y + = − 0,25

Vậy 2 0 x y =   = 

hoặc 0 2 x y =   = − 

0,25

2

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba …