Đề học sinh giỏi tỉnh Toán THCS năm 2022 2023 sở GD ĐT Thanh Hóa

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH HÓA

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2022 - 2023 MÔN THI: TOÁN - THCS Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

(Đề thi có 01 trang)

Câu I (4,0 điểm).

1 Cho biểu thức 2 1 9 14 1 3 2 3 2

  + = ⋅ + +   + + + +  

x x P x x x x

với 0 ≥ x .

Rút gọn biều thức P và tìm các giá trị của x để biểu thức P có giá trị là số tự nhiên.

2 Cho các số thực , , a b c thỏa mãn đồng thời 2 4 2 4 2 4 2 ; 2 ; 2 + = + = + = a b b c c a .

Tính giá trị biểu thức ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2022 = + + + − + + + B a b c a b c a b b c c a .

Câu II (4,0 điểm).

2. Giải phương trình 3 2 4 13 14 3 15 9 + − = − + x x x x .

3. Giải hệ phương trình

3 2

2 2 3 49 0 8 8 17

 + + =  − + = − 

x xy x xy y y x

.

Câu III (4,0 điểm).

1. Tìm tất cả các bộ số nguyên ( ) , , m p q thỏa mãn: 2 5 2 1 ⋅ + = m p q trong đó 0; , > m p q là hai số

nguyên tố.

2. Cho ,a b là hai số nguyên thỏa mãn a khác b và ( ) + ab a b chia hết cho 2 2 + + a ab b . Chứng

minh rằng 2 − > a b ab .

Câu IV (6,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R . Đường tròn tâm I đường kính

BC cắt các cạnh AB và AC lần lượt ở M và N . Các tia BN và CM cắt nhau tại H . Gọi K là giao

điềm của IH với MN . Qua I kẻ đường thẳng song song với MN cắt các đường thẳng CM và BN lần lượt ở E và Q .

1 Chứng minh ∆ANM đồng dạng với ∆ABC và   = BQI ECI .

2 Chứng minh 2 = IQIE IC và

2   =    

KN HN KM HM .

3 Gọi D la giao điểm của AH với BC . Chứng minh rằng

2 1 1 1 4 . 3( ) + + ≤ ⋅ ⋅ ⋅ − AD BN BN CM CM AD R OH

Câu V (2,0 điểm) Cho ba số , , 1 ≥ a b c thỏa mãn ( ) ( ) 16 4 81 24 + + + = + + + abc ab bc ca a b c . Tim giá trị

nhỏ nhất của biểu thức

( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1

1 1 1 = + + −+ −+ −+ Q a a a b b b c c c

------------- HẾT -------------- Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD……………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH HÓA

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC: 2022-2023

HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi: TOÁN – THCS (Hướng dẫn chấm có 06 trang)

Câu NỘI DUNG Điểm I 4,0 điểm

1. Cho biếu thức 2 1 9 14 1 3 2 3 2

  + = ⋅ + +   + + + +  

x x P x x x x

với 0 ≥ x .

Rút gọn biều thức P và tìm các giá trị của x để biếu thửc P có giá trị là số tự nhiên.

2,0

Điều kiện 0 ≥ x . Ta có:

( ) ( )( ) ( )( )

2 1 2 1 9 14 9 14 1 3 2 3 2 1 2 2 1

+   + + = ⋅ + + = +   + + + + + + + +  

x x x x x P x x x x x x x x

0,5

( )( )

( )( ) ( )( )

2 2 7 2 11 14 2 7

1 2 1 2 1

+ + + + + = = = + + + + +

x x x x x

x x x x x

Vậy 2 7

1

+ = +

x P x

với 0 ≥ x

0,5

Ta có ( ) 2 1 5 5 2 1 1

+ + = = + + +

x P x x

, vì 0 ≥ x nên 5 0 5 1 < ≤ + x

suy ra 2 7 < ≤ P

0,25

Do ∈ P  nên { } { } 5 5 5 5 3;4;5;6;7 1;2;3;4;5 1 5; ; ; ;1 2 3 4 1   ∈ ⇔ ∈ ⇔ + ∈  +   P x x

.

0,25

3 2 1 9 4 1 4; ; ; ;0 16; ; ; ;0 2 3 4 4 9 16     ⇔ ∈ ⇔ ∈         x x .

Kết hợp với điều kiện ta thấy 9 4 1 16; ; ; ;0 4 9 16   ∈    x là giá trị cần tìm.

0,25

Vậy để P có giá trị là số tự nhiên thì 9 4 1 16; ; ; ;0 4 9 16   ∈    x 0,25

2. Cho các số thực , , a b c thỏa mãn đồng thời: 2 4 2 4 2 4 2 , 2 , 2 + = + = + = a b b c c a .

Tính giá trị biểu thức ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2022 = + + + − + + + B a b c a b c a b b c c a . 2,0

Từ giả thiết ta suy ra:

( )( )

( )( )

( )( )

2 4 2 2

2 4 2 2

2 4 2 2

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

 + = −= − +  + = −= − +   + = −= − + 

a b b b

b c c c

c a a a

0,5

Nhân vế với vế 3 đằng thức trên với nhau ta được:

( )( )( ) ( )( )( )( )( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + = − − − + + + a b c b c a b c a

0,5

Do ( )( )( ) 2 2 2 1 1 1 0 + + + > a b c nên ( )( )( ) 2 2 2 1 1 1 1 − − − = b c a .

Khai triền ta được 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 − − − + + + −= b c a a b b c c a a b c

0,5