Đề cương ôn tập Học kì 2 Toán 12 trường THPT Đức Trọng (Lâm Đồng) năm 2025–2026

ĐỀCƯƠNG ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 CUỐI KỲII NĂM HỌC 2025 – 2026

A. Lý thuyết

I. Nguyên hàm – tích phân

1. Nguyên hàm

Cho hàm sốf(x) xác định trên K. Hàm sốF(x) được gọi là nguyên hàm của hàm sốf(x) trên K nếu F′(x) = f(x) với mọi x thuộc K.

Nguyên hàm một sốhàm sốthường gặp

• Z xα = xα+1

α + 1 + C với α , −1.

• Z sin xdx = −cos x + C.

• Z cos xdx = sin x + C.

• Z axdx = ax

ln a + C với 0 < a , 1.

• Z 1

xdx = ln |x| + C.

• Z 1 sin2 x dx = −cot x + C.

• Z 1 cos2 xdx = tan x + C.

• Z exdx = ex + C.

Tính chất

Cho f(x), g(x) là hai hàm sốliên tục trên K.

• Z k f(x)dx = k Z f(x)dx với k là hằng sốkhác 0.

• Z [f(x) + g(x)]dx = Z f(x)dx + Z g(x)dx.

• Z [f(x) −g(x)]dx = Z f(x)dx − Z g(x)dx.

2. Tích phân

Cho hàm sốf(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b] thì hiệu số

F(b) −F(a) gọi là tích phân từa đến b của hàm sốf(x), kí hiệu

b Z

a f(x)dx = F(x)|b a = F(b) −F(a).

1

Tính chất

Cho hàm sốf(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b], k là sốthực và c ∈(a; b). Khi đó:

•

b Z

a [f(x) + g(x)]dx =

b Z

a f(x)dx +

b Z

a g(x)dx.

•

b Z

a [f(x) −g(x)]dx =

b Z

a f(x)dx −

b Z

a g(x)dx.

•

b Z

a k f(x)dx = k

b Z

a f(x)dx.

•

b Z

a f(x)dx =

c Z

a f(x)dx +

b Z

c f(x)dx.

3. Diện tích hình thang cong

• Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồthịhàm sốf(x) liên tục, Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là

S =

b Z

a | f(x)|dx.

• Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồthịhàm sốf(x) và g(x) liên tục và hai đường thẳng x = a, x = b là

S =

b Z

a | f(x) −g(x)|dx.

4. Thểtích vật thể

Gọi B là phần vật thểgiới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b, S (x) là diện tích thiết diện của vật thểbịcắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x (a ≤x ≤b.

a x b

z

y

S(x)

O

GiảsửS (x) là hàm sốliên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, thểtích của vật thểB là V =

b Z

a S (x)dx.

2

5. Thểtích khối tròn xoay

Thểtích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồthịhàm sốy = f(x) liên tục, Ox và hai

đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox là V = π

b Z

a f 2(x)dx.

II. Phương pháp tọa độtrong không gian

Phương trình mặt phẳng

1. Vectơ pháp tuyến và cặp vectơ chỉphương của mặt phẳng

• Vectơ #»n , #»0 gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) nếu giá của #»n vuông góc với (α).

• Hai vectơ #»u , #»v được gọi là cặp vectơ chỉphương của mặt phẳng (P) nếu chúng không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng (P).

Chú ý:

• Tích có hướng của hai vectơ #»u và #»v , kí hiệu là [#»u , #»v ], được tính theo công thức [#»u , #»v ] = (bc′ −b′c; a′c− ac′; ab′ −a′b).

• [#»u , #»v ] = #»0 khi và chỉkhi #»u , #»v cùng phương.

• Nếu#»u và #»v là cặp vectơ chỉphương của (P) thì [#»u , #»v ] là một vectơ pháp tuyến của (P).

2. Phương trình mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, nếu mặt phẳng (α) đi qua điểm M0(x0; y0; z0) và có vectơ pháp tuyến #»n = (A; B;C) thì có phương trình là A(x −x0) + B(y −y0) + C(z −z0) = 0 ⇔Ax + By + Cz + D = 0 với D = −(Ax0 + By0 + Cz0). Chú ý: Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0) và C(0; 0; c) với a, b, c đều khác 0 là x a + y

b + z

c = 1.

3. Điều kiện đểhai mặt phẳng song song, hai mặt phẳng vuông góc

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) : Ax + By + Cz + D = 0 và (Q) : A′x + B′y + C′z + D′ = 0 với hai vectơ pháp tuyến #»n = (A; B;C), #»n ′ = (A′; B′;C′) tương ứng.

• (P)⊥(Q) ⇔#»n .#»n ′ = 0.

• (P)//(Q) ⇔#»n ′ = k#»n và D′ , kD với k nào đó

4. Khoảng cách từmột điểm đến một mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, khoảng cách từđiểm M(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (P) : Ax + By + Cz + D = 0 là

d(M, (P)) = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| √

A2 + B2 + C2 .

3