Đề cương ôn tập Giữa kì 2 Toán 12 trường THPT Đức Trọng (Lâm Đồng) năm 2025–2026

Trang 1

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP GIỮA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2025 – 2026. MÔN: TOÁN 12 I. Mục tiêu - Biết cách tìm nguyên hàm, tính tích phân của một hàm số đơn giản. - Biết cách sử dụng tích phân để tính diện tích của một hình phẳng hay thể tích của một vật thể tròn xoay. - Ứng dụng được vào các bài toán thực tiễn liên quan đến nguyên hàm, tích phân. - Thiết lập được phương trình tổng quát của mặt phẳng trong hệ trục toạ độ Oxyz .Vận dụng được kiến thức về phương trình mặt phẳng để giải một số bài toán liên quan đến thực tiễn. II. Kiến thức cơ bản 1. Nguyên hàm Cho hàm số ( ) f x xác định trên K . Hàm số ( ) F x được gọi là nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên K nếu

( ) ( ) F x f x ′ = với mọi x thuộc K .

( ) ( ) d f x x F x C = + ∫

2. Nguyên hàm một số hàm số sơ cấp cơ bản

• Với 1 ≠−, ta có:

1

1

+ = + + ∫ d x x x C

   ; • 1 = + ∫ d ln x x C x ;

• = − + ∫sin d cos x x x C ; • 2 1 = − + ∫ d cot sin x x C x

• = + ∫cos d sin x x x C ; • 2 1 = + ∫ d tan cos x x C x

• Với 0 a > , 1 a ≠, ta có: = + ∫ d ln

x x a a x C a

3. Tính chất Cho ( ) f x , ( ) g x là hai hàm số liên tục trên K .

⑴ ( ) ( ) = ∫ ∫ d d kf x x k f x x với k là hằng số khác 0

⑵ ( ) ( ) ( ) ( )   + = +   ∫ ∫ ∫ d d d f x g x x f x x g x x

⑶ ( ) ( ) ( ) ( )   − = −   ∫ ∫ ∫ d d d f x g x x f x x g x x

4. Định nghĩa tích phân Cho hàm số ( ) f x liên tục trên đoạn ;a b    .

Nếu ( ) F x là một nguyên hàm của ( ) f x trên đoạn ;a b     thì hiệu số ( ) ( ) F b F a − gọi là tích phân từ a đến

b của hàm số ( ) f x , kí hiệu ( )d

b

a f x x ∫ .

( ) ( ) ( ) ( ) d |

b b

a a f x x F x F b F a = = − ∫

5. Tính chất tích phân ⑴ Cho hai hàm số ( ) ( ) , y f x y g x = = liên tục trên đoạn ;a b    . Khi đó:

 ( ) ( ) ( ) ( ) d d d

b b b

a a a f x g x x f x x g x x   + = +   ∫ ∫ ∫

 ( ) ( ) ( ) ( ) d d d

b b b

a a a f x g x x f x x g x x   − = −   ∫ ∫ ∫

⑵ Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên đoạn ;a b    , k là số thực. Khi đó:

Trang 2

 ( ) ( ) d d

b b

a a kf x x k f x x = ∫ ∫

⑶ Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên đoạn ;a b    , ( ) ; c a b ∈ . Khi đó

 ( ) ( ) ( ) d d d

b c b

a a c f x x f x x f x x = + ∫ ∫ ∫

6. Diện tích hình thang cong

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ( ) f x liên tục, Ox và hai đường thẳng

x a = , x b = được tính: ( ) = ∫ d

b

a S f x x

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ( ) f x và ( ) g x và hai đường thẳng x a = ,

x b = được tính: ( ) ( ) = − ∫ d

b

a S f x g x x

7. Thể tích hình khối:

Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và ,b ( ) S x

là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm ,x ( ) ≤ ≤ a x b

Giả sử ( ) S x là hàm số liên tục trên đoạn ;a b    

Khi đó, thể tích của vật thể B được xác định: ( ) = ∫ d

b

a V S x x .

8. Thể tích khối tròn xoay: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi ( ) y f x = , Ox , và hai đường thẳng

, x a x b = = quanh trục : Ox

( ) 2 = ∫ d

b

a V f x x 

9. Phương trình tổng quát của mặt phẳng Trong không gian Oxyz , mỗi mặt phẳng đều có dạng phương trình: 0 + + + = Ax By Cz D với

2 2 2 0 + + ≠ A B C , được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng. 10. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Trong không gian Oxyz , cho điểm ( ) 0 0 0 0 ; ; M x y z và mặt phẳng ( ) 0 + + + = : Ax By Cz D  . Khi đó

khoảng cách từ điểm 0 M đến mặt phẳng ( )  được tính: ( ) ( )

0 0 0 0 2 2 2 + + + = + + , Ax By Cz D d M A B C 

III. Nội dung ôn tập 1. NGUYÊN HÀM PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN Câu 1. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 3 cos3 f x x x = +