Tự luận và trắc nghiệm nguyên hàm và tích phân Toán 12 KNTTVCS

Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm và tích phân – Tự luận và trắc nghiệm ba phần Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

https://www.facebook.com/truongngocvy8/ Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Trang 1

CHƯƠNG 4

NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

BÀI 11

NGUYÊN HÀM

1. Nguyên hàm của một hàm số

Cho hàm số  f x xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng ). Hàm số

 F x được gọi là nguyên hàm của hàm số  f x trên K nếu   F x f x   , với mọi x K  .

Chú ý: Trường hợp   ; K a b  thì các đẳng thức   F a f a   và   F b f b   ta được hiểu là đạo

hàm bên phải tại điểm x a  và đạo hàm bên trái tại điểm x b  của hàm số  F x , tức là:

   lim x a

F x F a f a x a  

   và    lim x b

F x F b f b x b  

  

Giả sử hàm số  F x là một nguyên hàm của hàm số  f x trên K . Khi đó:

 Với mỗi hằng số C , hàm số  F x C  cũng là một nguyên hàm của hàm số  f x trên K .

 Nếu hàm số  G x là một nguyên hàm của hàm số  f x trên K thì tồn tại hằng số C sao cho

  G x F x C   với mọi x K 

Như vậy, nếu  F x là một nguyên hàm của  f x trên K thì mọi nguyên hàm của  f x trên K

đều có dạng  F x C  , với C là hằng số. Ta gọi    F x C C   là họ các nguyên hàm của  f x

trên K , kí hiệu  f x dx  .

Chú ý:

 Để tìm học các nguyên hàm (gọi tắt là tìm nguyên hàm) của hàm số  f x trên K , ta chỉ cần tìm

một nguyên hàm  F x của  f x trên K và khi đó   f x dx F x C    , với C là hằng số.

 Người ta chứng minh được rằng, nếu hàm số  f x liên tục trên khoảng K thì  f x có nguyên

hàm trên khoảng đó.

 Biểu thức  f x dx được gọi là vi phân của nguyên hàm  F x của  f x , kí hiệu là  dF x . Vậy,

  ' dF x F dx f x dx  

 Khi tìm nguyên hàm của một hàm số mà không chỉ rõ tập K thì ta hiểu là tìm nguyên hàm của hàm

số đó trên tập xác định của nó.

Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm và tích phân – Tự luận và trắc nghiệm ba phần Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

https://www.facebook.com/truongngocvy8/ Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Trang 2

2. Tính chất cơ bản của nguyên hàm

   kf x dx k f x dx    , với k là hằng số khác 0

     f x g x dx f x dx g x dx          

     f x g x dx f x dx g x dx          

3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

Nguyên hàm của hàm số lũy thừa

0dx C  

1dx x C   

 

1

1 1 x x dx C

   

     

  1 ln 0 dx x C x x    

1 2 dx x C x

  

2 1 1 dx C x x   

Nguyên hàm của hàm số lượng giác

cos sin xdx x C   

sin cos xdx x C   

2 1 tan cos dx x C x   

2 1 cot sin dx x C x   

Nguyên hàm của hàm số mũ

x x e dx e C   

  0 1 ln

x x a a dx C a a     

Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm và tích phân – Tự luận và trắc nghiệm ba phần Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

https://www.facebook.com/truongngocvy8/ Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Trang 3

PHẦN A

TỰ LUẬN PHÂN DẠNG TOÁN

CHỦ ĐỀ 1

NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ

DẠNG 1

NGUYÊN HÀM HÀM LŨY THỪA

1. Bảng nguyên hàm hàm số lũy thừa

Chú ý:        . f u x u x dx F u x C    

2. Công thức lũy thừa:



m n m n x x 

 1 n n x x

 

 . m n m n x x x  



m

m n n x x x

 

Nguyên hàm hàm số lũy thừa

0dx C  

dx x C   

 

1

1 1 x x dx C

   

               

1 1 . 1 1

ax b ax b ax b dx ax b dx C a a

    

            

  1 ln 0 dx x C x x       1 1 1 . ln ax b dx dx ax b C ax b ax b a a

         

2 1 1 dx C x x   

   

 

2 2 1 1 1 1 . . ax b dx dx C a a ax b ax b ax b

         

1 2 dx x C x

     1 1 1 . .2 ax b dx dx ax b C a a ax b ax b

         