Đề thi HSG lớp 10 môn Toán năm 2020 2021 trường THPT Lưu Hoàng Hà Nội

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

TRƯỜNG THPT LƯU HOÀNG

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn thi: Toán - Lớp: 10 (Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (4 điểm). Cho parabol 

2 : P y x bx c    ( ,b c là các tham số thực).

a) Tìm giá trị của ,b c biết parabol  P đi qua điểm   3;2 M  và có trục đối

xứng là đường thẳng 1 x .

b) Với giá trị của ,b c tìm được ở câu a), tìm m để đường thẳng : d y x m 

cắt parabol  P tại hai điểm phân biệt , A B sao cho tam giác OAB vuông tại O (với

O là gốc tọa độ).

Câu 2 (7 điểm).

a) Giải phương trình: 2 2 3 3 3 6 3 x x x x      .

b) Tìm m để bất phương trình

2

2

2 1 3 4 x mx x x      vô nghiệm.

c) Giải hệ phương trình: 2 2 2 1 5

3 2 1 3 2

x y x y

x y y x

      

    

.

Câu 3 (2 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm   1;1 A  và   2;4 B . Tìm tọa độ điểm C sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.

Câu 4 (5 điểm). Cho tam giác ABC có M là trung điểm AC , N là điểm thuộc cạnh

BC thỏa mãn 2 NC NB  . Gọi I là trung điểm của MN .

a) Chứng minh rằng: 2 1 3 3 IN IB IC   .

b) Biểu diễn vectơ IA theo hai vectơ IB và IC .

c) Giả sử độ dài các cạnh , , BC a CA b AB c   . Chứng minh rằng:

Nếu 3 . 4 . 5 . 0 a IA b IB c IC    thì tam giác ABC đều.

Câu 5 (2 điểm). Cho ba số thực , , x y z thỏa mãn 1, 1, 1 x y z    và 1 1 1 2 x y z    .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức     1 1 1 A x y z     .

----------HẾT---------- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! Họ và tên thí sinh: ...................................... Số báo danh: ................ Chữ ký giám thị coi thi số 1: Chữ ký giám thị coi thi số 2:

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

TRƯỜNG THPT LƯU HOÀNG

HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn thi: Toán - Lớp: 10

I. Hướng dẫn chung II. Đáp án và thang điểm

Câu Đáp án Điểm

Câu 1 (4 điểm)

a) Cho parabol 

2 : P y x bx c    ( ,b c là các tham số thực). Tìm giá trị của ,b c

biết parabol  P đi qua điểm   3;2 M  và có trục đối xứng là đường thẳng 1 x .

Do parabol  P có trục đối xứng là đường thẳng 1 x  nên ta có

1 2 2 b b    . 1

Do parabol  P đi qua điểm   3;2 M  nên ta có

    2 2 3 . 3 3 7 b c c b        3.2 7 1 c  .

Vậy 2, 1 b c  .

1

b) Với giá trị của ,b c tìm được ở câu a), tìm m để đường thẳng : d y x m  cắt

parabol  P tại hai điểm phân biệt , A B sao cho tam giác OAB vuông tại O (với

O là gốc tọa độ).

Với 2, 1 b c   ta có 

2 : 2 1 P y x x   .

Phương trình hoành độ giao điểm của  P và d là

2 2 2 1 3 1 0 x x x m x x m       (1)

Để d cắt  P tại 2 điểm phân biệt thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

13 13 4 0 4 m m      .

0.5

Khi đó giả sử 2 nghiệm của phương trình (1) là 1 2 , x x lần lượt là hoành độ 2 điểm

, A B .

Do         1 1 2 2 1 1 2 2 , ; , ; ; , ; A B d A x x m B x x m OA x x m OB x x m            .

0.5

Tam giác OAB vuông tại O khi và chỉ khi

    

2 1 2 1 2 1 2 1 2 . 0 . 0 2 . 0 OAOB x x x m x m x x m x x m            (2) 0.5

Do 1 2 , x x là 2 nghiệm của phương trình (1) nên theo định lí Vi-et ta có

1 2

1 2

3

1

x x

x x m

      

Khi đó (2)  

2 2 1 2( 1) . 3 0 2 0 2 m m m m m m m

              

.

Kết hợp với điều kiện 13

4 m  ta có các giá trị của m cần tìm là 1, 2 m m   .

0.5

Câu 2 (7 điểm)

a) Giải phương trình: 2 2 3 3 3 6 3 x x x x       . Phương trình đã cho tương đương với

2 2 3 3 1 3 6 2 0 x x x x        0.5

ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC