Đề thi HSG tỉnh lớp 10 môn Toán THPT năm 2018 2019 sở GD ĐT Hải Dương

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2018 - 2019 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi: 03/4/2019 (Đề thi gồm 01 trang) Câu I (2,0 điểm) 1) Cho hàm số 2 4 3 y x x    có đồ thị ( ) P . Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng

( ) : m d y x m   cắt đồ thị ( P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1 2 , x x thỏa mãn

1 2

1 1 2 x x   .

2) Cho hàm số 2 ( 1) 2 2 y m x mx m      (m là tham số). Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;2)  . Câu II (3,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình      2 2 2 2

2 2 3 3 2

2 12 0

x y x xy y x y

x y x x

             

2) Giải phương trình 2 ( 3) 1 4 2 6 3 x x x x x x       .

3) Giải bất phương trình 3 2 (3 4 4) 1 0 x x x x      .

Câu III (3,0 điểm)

1) Cho tam giác ABC có trọng tâm G và điểm N thỏa mãn 3 0 NB NC      . Gọi P là

giao điểm của AC và GN , tính tỉ số PA PC .

2) Cho tam giác nhọn ABC , gọi , , H E K lần lượt là chân đường cao kẻ từ các đỉnh , , A B C . Gọi diện tích các tam giác ABC và HEK lần lượt là ABC S và HEK S . Biết rằng

4 ABC HEK S S    , chứng minh

2 2 2 9 sin sin sin 4 A B C    .

3) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ABC  cân tại A. Đường thẳng AB có phương trình 3 0 x y    , đường thẳng AC có phương trình 7 5 0 x y    . Biết điểm (1;10) M thuộc cạnh BC , tìm tọa độ các đỉnh , , A B C .

Câu IV (1,0 điểm)

Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm loại I và loại II từ 200kg nguyên liệu và một máy

chuyên dụng. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu và máy làm

việc trong 3 giờ. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu và máy

làm việc trong 1,5 giờ. Biết một kilôgam sản phẩm loại I lãi 300000 đồng, một kilôgam sản

phẩm loại II lãi 400000 đồng và máy chuyên dụng làm việc không quá 120 giờ. Hỏi xưởng cần

sản xuất bao nhiêu kilôgam sản phẩm mỗi loại để tiền lãi lớn nhất?

Câu V (1,0 điểm) Cho các số thực dương , , x y z thỏa mãn 3 xy yz xz   .

Chứng minh bất đẳng thức

2 2 2

3 3 3 1 8 8 8

x y z

x y z       .

........................................ Hết ...................................... Họ và tên thí sinh: ....................................................................... Số báo danh: ..................................................... Giám thị coi thi số 1: ............................................... Giám thị coi thi số 2: ............................................................

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT – NĂM HỌC 2018 - 2019 MÔN: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 6 trang) Câu Nội dung Điểm

Câu I.1 1,0đ Cho hàm số 2 4 3 y x x    có đồ thị ( ) P . Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng ( ) : m d y x m   cắt đồ thị ( P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1 2 , x x thỏa

mãn

1 2

1 1 2 x x   .

Phương trình hoành độ giao điểm 2 2 4 3 5 3 0 x x x m x x m          (1) 0,25 Đường thẳng ( ) m d cắt đồ thị ( ) P tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình

(1) có hai nghiệm phân biệt 13 0 13 4 0 4 m m       .

0,25

Ta có 1 2

1 2

5

3

x x

x x m

       0,25

1 2 1 2

1 2 1 2

2 5 2(3 ) 1 1 1 2 0 3 2

x x x x m m x x m x x

                  (thỏa mãn) 0,25

Câu I.2 1,0 đ Cho hàm số 2 ( 1) 2 2 y m x mx m      ,(m là tham số). Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;2)  .

Với 1 2 3 m y x   . Hàm số nghịch biến trên  . Do đó 1 m  thỏa mãn. 0,25

Với 1 m . Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;2)  khi và chỉ khi

1 0

2 1

m

m m

     

0,25

1 2 m   . 0,25

Vậy 1 2 m   0,25

CâuII.1 1,0 đ Giải hệ phương trình      



2 2 2 2

2 2 3 3 2 1

2 12 0 2

x y x xy y x y

x y x x

             

    

  

2 2 2 2

2 2 2 2

3 3 2 2

3 3 2

3( ) 3( ) 2

3( ) 3 3 2

x y x xy y x y

x y x xy y x y x y

x y x y x y

      

        

      

0,25

3 2 3 …