Đề thi chọn HSG lớp 10 môn Toán cấp trường năm 2017 2018 trường Lý Thái Tổ Bắc Ninh

Câu 1 (4.0 điểm) Cho Parabol = + + (P): y x mx 3 2 2 và đường thẳng = − (d): y x 2 1. Tìm

m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B thỏa mãn = AB . 10

Câu 2 (6.0 điểm):

1. Giải bất phương trình sau:

( )

+ ≥ − − + −

x x x x 4 2 2 1 1 2 1 1

2. Giải phương trình sau: − + − = − + x x x x . 2 2 2 5 2 3 5 8 21

3. Giải hệ phương trình sau:

 − + =  +  − −  − =  + 

x y (x ) x

x x y xy y x x y

5 2 2 2

2 2

6 1 3 2

4 3 9 3 3

Câu 3 (6.0 điểm)

1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm ( ) A ;2 0 và đường tròn

( ) + + − + = C : x y x y 2 2 2 6 2 0. Tìm điểm M trên trục hoành sao cho từ M kẻ được hai tiếp

tuyến MB, MC với đường tròn (B và C là các tiếp điểm) sao cho BC đi qua A.

2. Cho tam giác ABC có  = = BC , A 0 2 60 và hai đường trung tuyến BM, CN vuông

góc với nhau. Tính diện tích tam giác ABC.

3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có tâm I. Trung điểm cạnh AB là 0 3 M( ; ), trung điểm đoạn CI là 1 0 J( ; ) . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông, biết

đỉnh D thuộc đường thẳng 1 0 ∆ − + = : x y .

Câu 4 (2.5 điểm)

Biết + + + = sin x cos x tan x cot x 2 2 2 2 16 1 16 1 33 , π < < x 0 2 . Tính giá trị của   π −     tan x, tan x 5 5 4 .

Câu 5 (1.5 điểm) Cho  >  = 

a,b,c 0

abc 1

. Chứng minh rằng:

4 4 4

2 2 2 3 2 1 1 1 + + ≥ + + + a b b c c a a b c

-------------------------- Hết -------------------------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:.............................................. Số báo danh:..............................

SỞ GD & ĐT BẮC NINH TRƯỜNG THPT LÝ THÁI TỔ

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2017-2018

Môn: TOÁN, Khối 10 Thời gian: 120 phút, không kể thời gian phát đề. Ngày thi 14/04/2018

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THPT LÝ THÁI TỔ

ĐÁP ÁN THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2017 - 2018 Môn: Toán – Lớp 10 – THPT

Câu Lời giải sơ lược Điểm 1 4,0 Hoành độ giao điểm của d và (P) là nghiệm phương trình:

2 2 x 2mx 3 2x 1 x 2(m 1)x 4 0 (1) + + = −⇔ + − + = 1,0

Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔

2 m 2m 3 0 m 3 ∆= − − > ⇔ > hoặc m 1 < −(*) Với điều kiện (*), gọi hai giao điểm là 1 1 2 2 A(x ;2x 1),B(x ;2x 1) − − , trong đó 1 2 x ,x là các

nghiệm của (1). Theo định lý Viet ta có: 1 2 1 2 x x 2 2m,x x 4 + = − = .

1,0

Ta có: 2 2 2 2 1 2 1 2 1 AB 5(x x ) 5 (x x ) 4x x 10 5(4m 8m 12) 100   = − = + − = ⇔ − − =   1,0

2 m 2m 8 0 m 4 ⇔ − − = ⇔ = hoặc m 2 = −(tm đk (*))

Vậy m 4 = và m 2 = − là giá trị cần tìm.

1,0

2.1 2,0

ĐKXĐ: x 1 ≠, Ta có: ( ) − + −≥ −> x x 4 2 3 2 1 1 1 0 2

TH1: x 1 > : BPT ( ) ( )

 + −≥ +  ⇔ − + ≤ + −⇔ ⇔ =  − − ≤ 

x x x x x x x x x

2

4 2 2 2 2 1 0 1 5 2 1 1 2 1 0

1,5

TH2: x 1 < : BPT ( ) ( ) ⇔ − + ≥ + −⇔ − − ≥ x x x x x x 2 4 2 2 2 2 1 1 1 0 luôn đúng

Vậy BPT có tập nghiệm ( ) 1 5 S ;1 2

  +   = −∞ ∪     

.

0,5

2.2 2,0 ĐKXĐ: 2x 5 0 − ≥

PT 2 x 10x 21 [(x 1) 2 2x 5] [(x 1) 2 3x 5] 0 ⇔ − + + − − − + + − − =

0,5

2 2 2 x 10x 21 x 10x 21 x 10x 21 0 (x 1) 2 2x 5 (x 1) 2 3x 5 − + − + ⇔ − + + + = − + − + + −

2 1 1 (x 10x 21)(1 ) 0 (x 1) 2 2x 5 (x 1) 2 3x 5 ⇔ − + + + = − + − + + −

1,0

2 x 10x 21 0 x 3 ⇔ − + = ⇔ = hoặc x 7 = .

Vậy phương trình có 2 nghiệm x 3 = và x 7 = .

0, 5