Đề thi Olympic 27/4 lớp 10 môn Toán năm 2017 2018 sở GD và ĐT Bà Rịa Vũng Tàu

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU ĐỀ THI CHÍNH THỨC

ĐỀ THI OLYMPIC 27/4 - NĂM HỌC 2017- 2018 MÔN THI: TOÁN LỚP 10 Ngày thi: 06/03/2018 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1 (6,0 điểm):

1) Giải phương trình 2 3 + 2 = 3 2 x x x x    

2) Giải hệ phương trình

3 3 2 2

2 1

2 3 2 2 3 4

x y x y xy y x

x y x y x y

               

Câu 2 (4,0điểm):

1) Cho tam giác ABC có diện tích S và bán kính của đường tròn ngoại tiếp R thỏa mãn hệ thức

  2 3 3 3 2 = sin sin sin 3 S R A B C   . Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.

2) Cho tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng 3. Trên các cạnh , , BC CA AB lần lượt lấy các điểm , , N M P sao cho 1, 2, (0 3). BN CM AP x x     

a) Phân tích véc tơ AN  theo hai vectơ , . AB AC 

b) Tìm giá trị của x để AN vuông góc với . PM

Câu 3 (2,0 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông tại , A D và

2 AD CD AB   . Điểm I thuộc đoạn AC sao cho 3 . 4 AI AC  Biết điểm (5;3), B đường thẳng DI

có phương trình 3 8 0 x y    và điểm D có hoành độ dương. Tìm tọa độ điểm . D

Câu 4 (3,0 điểm): Cho phương trình   2 2 4 1 3 2 0 x m x m m      (m là tham số).

1) Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 , x x thỏa mãn

3 3 1 2 18 x x   .

2) Tìm tất cả các giá trị nguyên của m nguyên sao cho phương trình đã cho có nghiệm nguyên.

Câu 5 (3,0 điểm): Cho 4 số thực dương , , , a b c d thỏa mãn 4 a b c d     . Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 1 1 1 1 a b c d b c c d d a a b         .

Câu 6 (2,0 điểm): Cho 2018 số nguyên dương phân biệt và nhỏ hơn 4034. Chứng minh tồn tại 3 số phân biệt trong 2018 số đã cho mà một số bằng tổng hai số kia.

----------------- HẾT -----------------

Họ và tên thí sinh............................................................................ Số báo danh ..................................

Chữ ký của giám thị 1 ....................................................................

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC 27/4 - NĂM HỌC 2017- 2018

TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU MÔN THI: TOÁN LỚP 10 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Hướng dẫn chấm có 04 trang) Câu Nội dung Điểm Câu 1 6,0 điểm

1) Đk 3 x 

2 2 2 3 + 2 = 3 2 3 2 2 5 6 3 2 x x x x x x x x x x             

0,5

2 2 2 2 5 3 2 5 6 0 5 6 2 5 6 3 0 x x x x x x x x               2x0,25

Đặt 2 5 6, t 0. t x x     Ta được pt : 2 2 3 0 t t    2x0,25

2 1( 2 3 0 3( ) t l t t t n         2x0,25

2 2 3 5 6 3 5 3 0

5 37 ( ) 2 5 37 ( ) 2

t x x x x

x l

x n

        

         

. KL pt có nghiệm là 5 37 2 x  

0,5 0,5

3 3 2 2

2 1 (1)

2 3 2 2 3 4 (2)

x y x y xy y x

x y x y x y

               

3 3

2 2

2 2

(1) ( 1) 3( 1) 3

( 1 - y) + 1 0

1

+ 1 = 0

x x y y

x x xy y

y x

x xy y

     

               

Ta có 2 2 + 1 = 0 x xy y  

vô nghiệm

Với y = x + 1 thay vào pt (2) ta được pt: 2 3 1 + 3 4 3 3 x x x x     

2

2 2 2

2

2

( 3 1 - ( 1) ( 3 4 ( 2) 3 3

3 3 3 1 1 5 4 2 1 1 ( ) 3 0 3 1 1 5 4 2

0

1 1 1 3 0 ( : ) 3 3 1 1 5 4 2

0 1

x x x x x x

x x x x x x x x x x

x x x x x x

x x

vn vi x x x x x

x x

       

           

                

                      

0,25 0,25 2x0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2x0,25 0,25 0,25

KL: Hpt có nghiệm là (0; 1), (1; 2). Cầu 2 4điểm 1) Theo định lí sin ta có :

3 3 3 3 3 3 3 3 3 sin ; sin ;sin 8 8 8 a B c A B C R R R    2x0,25 2x0,25