Đề thi chọn HSG cấp tỉnh lớp 11 môn Toán năm 2018 2019 sở GD ĐT Bắc Ninh

Câu 1. (2,0 điểm) Cho hàm số   1 2 3 y m x m     có đồ thị là đường thẳng d . Tìm m để đường

thẳng d cắt trục , Ox Oy tại hai điểm A và B sao cho tam giác OAB cân.

Câu 2. (4,5 điểm)

1) Giải phương trình

2 2 3 4 sin 3 cos2 1 2cos 2 4 0 2c 3 1 os

x x

x

x             



 .

2) Giải hệ phương trình  

3 2 3

3 2 3 2 2

3 5 2 5 3 5 2 5

x xy x y y

x y x x y x y

             

.

Câu 3. (4,0 điểm)

1) Tìm a để hàm số   

2 3 1 3 khi 1 1 2 khi 1 4

x x x x f x a x x

            

liên tục tại điểm 1 x  .

2) Cho dãy số   n u xác định bởi 1 1 2 1 2 2019; 2020; , 2, 3

n n n u u u u u n n        . Tính lim n u .

Câu 4. (2,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có tâm I . Trung điểm cạnh AB là (0;3) M , trung điểm đoạn CI là (1;0) J . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông, biết đỉnh D thuộc đường thẳng : 1 0 x y     . Câu 5. (4,0 điểm)

1) Cho hình chóp . S ABCD , có đáy ABCD là hình chữ nhật với 3, AB a BC a   và 2 SA SB SC SD a     . Gọi K là hình chiếu vuông góc của B trên AC và H là hình chiếu vuông góc của K trên SA.

a) Tính độ dài đoạn HK theo . a b) Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng , HK SO . Mặt phẳng   di động, luôn đi qua I và cắt

các đoạn thẳng , , , SA SB SC SD lần lượt tại , , , A B C D    . Tìm giá trị nhỏ nhất của . . . P SA SB SC SD      .

2) Cho tứ diện đều ABCD có đường caoAH . Mặt phẳng  P chứa AH cắt ba cạnh , , BC CD

BD lần lượt tại , , M N P ; gọi ; ;  là góc hợp bởi ; ; AM AN AP với mặt phẳng  BCD . Chứng minh

rằng 2 2 2 tan tan tan 12       . Câu 6. (3,0 điểm)

1) Cho tam thức  2 f x x bx c   . Chứng minh rằng nếu phương trình  f x x  có hai nghiệm

phân biệt và 2 2 3 4 b b c    thì phương trình  f f x x       có bốn nghiệm phân biệt.

2) Cho , , a b c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn 2 ( ) a b c ab    . Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức

2 2

2 2 ab c c P a b a b c a b

                

.

3) Lớp 11 Toán có 34 học sinh tham gia kiểm tra môn Toán để chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi cấp tỉnh. Đề kiểm tra gồm 5 bài toán. Biết rằng mỗi bài toán thì có ít nhất 19 học sinh giải quyết được. Chứng minh rằng có 2 học sinh sao cho mỗi bài toán đều được một trong hai học sinh này giải quyết được.

-----------------Hết----------------- Họ và tên thí sinh :....................................................... Số báo danh .............................

UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

(Đề thi có 01 trang)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn thi: Toán – Lớp 11 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC

UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2018 - 2019

Môn: Toán – Lớp 11

Câu Lời giải sơ lược Điểm 1. (2,0 điểm)

Ta có d cắt trục Ox tại điểm 2 3 ;0 1 m A m

             

(điều kiện 1 m  )

d cắt trục Oy tại điểm   0; 2 3 B m  

0,5

Khi đó OAB  vuông tại O nên OAB  cân tại O 2 3 2 3 1 m OA OB m m        0,5

3 2 2 3 0 2 1 1 0

m m m m m

                  

. 0,5

Với 3 2 m  ta có ba điểm , , A B O trùng nhau (Loại). Hai trường hợp còn lại thỏa mãn.

Vậy 0; 2 m m   là các giá trị cần tìm.

0,5

Chú ý: + Học sinh thiếu điều kiện 1 m  trừ 0,25 điểm. + Nếu học sinh thiếu dấu trị tuyệt đối ở bước 2, mà làm đúng các bước trên và tìm ra được

2 m  cho 1,25 điểm. + Nếu học sinh thiếu dấu trị tuyệt đối ở bước 2, mà làm đúng các bước trên và tìm ra được

3 2; 2 m m   cho 1,0 điểm.

CÁCH 2: Học sinh có thể giải theo cách ngắn hơn như sau (vẫn cho điểm tối đa) Vì d cắt trục , Ox Oy lần lượt tại , A B sao cho OAB  vuông cân tại O nên d có hệ số góc

k , với

tan 45 1

1 tan135

k k

k k

             





Mặt khác theo giả thiết d có hệ số góc 1 k m  .

Do đó

1 1 0

1 0 2

m m

m m

                …