Quảng cáo

Đề thi Olympic môn Toán năm 2023 trường THPT chuyên KHTN Hà Nội

Nguồn: sytu.vn

Báo tài liệu không phù hợp

Nội dung Đề thi Olympic môn Toán năm 2023 trường THPT chuyên KHTN Hà Nội Bản PDF Sytu giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề thi Olympic môn Toán năm 2023 trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, thành phố Hà Nội. Trích dẫn Đề thi Olympic môn Toán năm 2023 trường THPT chuyên KHTN – Hà Nội : + Cho dãy số (an) thỏa mãn a1 = 7 và an + 1 = an(3an − 22n + 1) với mọi số nguyên dương n. Chứng minh rằng nếu p là ước nguyên tố của a2023 thì p − 1 chia hết cho 3. + Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O) với phân giác trong AD (D nằm trên cạnh BC). M là trung điểm BC. AM cắt lại (O) tại N. J là trung điểm cung BC chứa A của (O). Trên (O) lấy các điểm S và T sao cho JS k AB và JT k AC. a) Chứng minh rằng đường thẳng ST đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ADN. b) Lấy P thuộc (O) sao cho NP = AJ. Gọi giao điểm của P B và P C lần lượt với JS và JT là Q và R. Chứng minh rằng Q, R, D thẳng hàng. + Cho hình thang ABCD vuông tại A và B với BC < AD. Gọi ω là đường tròn tâm C đi qua B. Giả sử là một tiếp tuyến của ω sao cho vuông góc với BD đồng thời cắt tia đối tia AB tại E. F thuộc đường thẳng CD sao cho EF k AD. P là hình chiếu vuông góc của F trên M là trung điểm của cạnh AB. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác EPM tiếp xúc với ω.

Xem trước nội dung

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰNHIÊN

TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰNHIÊN

ĐỀTHI OLYMPIC CHUYÊN KHOA HỌC TỰNHIÊN 2023 Môn thi: TOÁN Ngày thi thứnhất Thời gian làm bài: 180 phút, không kểthời gian phát đề

Câu 1. Cho dãy số(an) thỏa mãn a1 = 7 và an+1 = an(3an −22n+1) với mọi sốnguyên dương n. Chứng minh rằng nếu p là ước nguyên tốcủa a2023 thì p −1 chia hết cho 3.

Câu 2. Giảsửa, b là các sốnguyên dương sao cho a3b3

a4 + b4 là sốnguyên

dương không có ước nguyên tốvượt quá 3. Chứng minh rằng a = b.

Câu 3. Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O) với phân giác trong AD (D nằm trên cạnh BC). M là trung điểm BC. AM cắt lại (O) tại N. J là trung điểm cung BC chứa A của (O). Trên (O) lấy các điểm S và T sao cho JS ∥AB và JT ∥AC.

a) Chứng minh rằng đường thẳng ST đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ADN.

b) Lấy P thuộc (O) sao cho NP = AJ. Gọi giao điểm của PB và PC lần lượt với JS và JT là Q và R. Chứng minh rằng Q, R, D thẳng hàng.

Câu 4. Cho a, b, c là các sốthực dương. Chứng minh rằng r

2ab(a2 −ab + b2)

a4 + b4 +

2bc(b2 −bc + c2)

b4 + c4 +

2ca(c2 −ca + a2)

c4 + a4 ≤(√a + √

b + √c)2

a + b + c .

—— HẾT NGÀY 1 ——

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰNHIÊN

TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰNHIÊN

ĐỀTHI OLYMPIC CHUYÊN KHOA HỌC TỰNHIÊN 2023 Môn thi: TOÁN Ngày thi thứhai Thời gian làm bài: 180 phút, không kểthời gian phát đề

Câu 5. Tìm tất cảcác đa thức P (x) với hệsốthực sao cho đẳng thức

P x4 + 4x2 (P (x))2 = (P (x))4 + 2x4

đúng với mọi sốthực x.

Câu 6. Xét một sốsốnguyên dương có tổng bằng 2023. Hãy tìm giá trịlớn nhất có thểcó của tích các sốnguyên dương này.

Câu 7. Cho hình thang ABCD vuông tại A và B với BC < AD. Gọi ω là đường tròn tâm C đi qua B. Giảsửℓlà một tiếp tuyến của ω sao cho ℓvuông góc với BD đồng thời ℓcắt tia đối tia AB tại E. F thuộc đường thẳng CD sao cho EF ∥AD. P là hình chiếu vuông góc của F trên ℓ. M là trung điểm của cạnh AB. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác EPM tiếp xúc với ω.

—— HẾT NGÀY 2 ——

Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.

Quảng cáo