Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 môn Toán năm 2022 2023 sở GD ĐT Bến Tre

SỞGIÁO DỤC ĐÀO TẠO BẾN TRE

ĐỀCHÍNH THỨC

(Đềthi có 1 trang)

ĐỀTHI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔTHÔNG NĂM HỌC 2022 – 2023 Môn Toán Ngày thi 09/03/2023 Thời gian làm bài: 180 phút (không kểthời gian phát đề).

Câu 1. (2,0 điểm). Cho hàm sốy = (m −3)x3 + mx2 + (m + 1)x + 9. Tìm tất cảcác giá trị thực của tham sốm đểhàm sốnghịch biến trên R.

Câu 2. (4,0 điểm). Cho phương trình x4 −4x3 + 8x = k (với k là tham sốthực).

Giải phương trình với k = 5. a)

Tìm tất cảcác sốnguyên k đểphương trình có 4 nghiệm phân biệt. b)

Câu 3. (2,0 điểm). Trong 1600 thí sinh dựthi Kỳthi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh ngày 9/3/2023, người ta lập ra các nhóm như sau: Chọn k thí sinh trong 1600 thí sinh và trong k thí sinh đó chọn ra 1 thí sinh làm nhóm trưởng (1 ≤k ≤1600). Hỏi có tất cảbao nhiêu cách lập ra các nhóm như trên.

Câu 4. (2,0 điểm). Cho dãy số(un) được xác định bởi ( u1 = 2023 (4n2 + 8n) un+1 = (n2 + 4n + 3) un, n ≥1

Tính lim 4n

n2 · un

.

Câu 5. (3,0 điểm). Giải hệphương trình

 



xy(y + 1) + y2 + 1 = 4y

xy2(x + 2) + 1

y2 + y2 = 5 (x, y ∈R).

Câu 6. (3,0 điểm). Cho a, b, c là các sốthực dương thỏa a2 + b2 + c2 = 27. Chứng minh rằng

1 a + b + 1 b + c + 1 c + a ≥12 1 a2 + 63 + 1 b2 + 63 + 1 c2 + 63

Câu 7. (4,0 điểm).

Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có độdài cạnh bằng a. Trên đoạn AD′ lấy điểm M, trên đoạn BD lấy điểm N sao cho AM = DN = x, với 0 < x < a √

2. Chứng minh

độdài đoạn MN ngắn nhất khi x = a √

2 3 . Khi đó, tính độdài đoạn MN.

a)

Cho tứdiện ABCD. Chứng minh rằng

(AB + CD)2 + (AD + BC)2 > (AC + BD)2

b)

—HẾT—