Đề học sinh giỏi tỉnh Toán THPT năm 2022 2023 sở GD ĐT Quảng Nam (đợt 1)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH QUẢNG NAM

ĐỀ CHÍNH THỨC

TOANMATH.com

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT ĐỢT 1

NĂM HỌC 2022 – 2023

Môn thi: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 07/10/2022

Câu 1. (3,0 điểm)

Giải hệ phương trình:

2 2

2 3

1

2 11 32 3. 4 8

x y x y y x

x y y

 − + + = −−  − + = − 

( ) ,x y .

Câu 2. (2,0 điểm)

Cho dãy số ( ) nu được xác định như sau:

1

3

* 1 2

2023

2022 2022 , 2022 2022

n n n

n n

u

u u u n u u +

=   +  =   − + 

. Tính

2

2 1

1 lim 2 1 1

n

i

n i i

u n u →+ = + +  .

Câu 3. (5,0 điểm)

Cho đường tròn ( ) O và hai điểm A, B cố định nằm trên đường tròn ( ) O sao cho ba điểm O, A, B không thẳng

hàng. Xét một điểm C trên đường tròn ( ) O sao cho tam giác ABC không cân tại C. Gọi ( ) 1 O là đường tròn

đi qua A và tiếp xúc với BC tại C; ( ) 2 O là đường tròn đi qua B và tiếp xúc với AC tại C. Hai đường tròn ( ) 1 O

và ( ) 2 O cắt nhau tại điểm thứ hai là D (D khác C).

a) Tiếp tuyến của đường tròn ( ) O tại C cắt đường thẳng OD tại S. Chứng minh OA là tiếp tuyến của đường

tròn ngoại tiếp tam giác ADS.

b) Chứng minh đường thẳng CD luôn đi qua một điểm cố định khi điểm C di động trên đường tròn ( ) O (tam

giác ABC không cân tại C).

Câu 4. (2,0 điểm)

a) Cho k là số nguyên lớn hơn 1. Chứng minh 1 2 1 k−+ không chia hết cho k.

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên tố p và q thỏa mãn 2 2 p q + chia hết cho p.q.

Câu 5. (3,0 điểm)

Tìm tất cả các hàm số : f → thỏa mãn: ( ) ( ) y xf y yf x f x   − =    

với mọi ,x y  và 0 x  .

Câu 6. (2,0 điểm)

Cho tập hợp X có 2023 phần tử. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách chọn hai tập hợp con khác nhau của X sao cho giao của hai tập hợp này là một tập hợp có đúng một phần tử?

Câu 7. (3,0 điểm)

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện 2y zx  , 2z xy  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2023

2023 2023 2022 z y z P z y y x z x = + + + + + .

 HẾT 