Đề học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 môn Toán chuyên năm 2021 2022 sở GD ĐT Lạng Sơn

0

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LẠNG SƠN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

LỚP 12 NĂM HỌC 2021 - 2022 Môn thi: TOÁN lớp 12 CHUYÊN

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

(Đề thi gồm 01 trang, 05 câu)

Câu 1 (4 điểm). Giải hệ phương trình    2 2 1 1 1

3 2 2 2 6 10

x x y y

x y x x y

            

.

Câu 2 (4 điểm). Cho dãy số   n u xác định bởi

1

1

0

. 3 , 1, 2 n

n

u a

u n n u 

         



a) Chứng minh rằng 1 1 1 1 2 n n u a     với mọi 1, n n   và dãy số   n u có giới hạn.

b) Tìm tất các giá trị của a để 2 1 2 1 k k u u    và 2 2 2 k k u u  với mọi 1, . k k  

Câu 3 (4 điểm). Cho hàm số : f    thỏa mãn:

     2 f xf x f y y f x    với mọi ,x y  (1).

a) Giả sử rằng  0 0 f  , chứng minh rằng  f x là song ánh.

b) Tìm  0 f và tất cả các hàm số thỏa mãn (1).

Câu 4 (6 điểm). Cho tam giác ABC có ba đường cao , , AD BE CF cắt nhau tại H . Gọi , S T lần

lượt là trung điểm của , AB AC . Đường thẳng ST cắt , BE CF lần lượt tại , M N .

a) Chứng minh rằng đường thẳng nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác

, MTH NSH vuông góc với AH .

b) Gọi , ' P P lần lượt là ảnh đối xứng của , B E qua CH . Gọi , ' Q Q lần lượt là ảnh đối xứng

của , C F qua BH . Chứng minh rằng , , ', ' P Q P Q đồng viên.

c) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HPQ nằm trên đường thẳng Euler

của tam giác ABC . Câu 5 (2 điểm).

a) Cho số nguyên dương n . Tìm số nguyên dương k nhỏ nhất thỏa mãn tính chất: khi lấy ra

k phần tử phân biệt bất kì từ tập hợp   1;2;3;...;2n (gồm 2n số nguyên dương liên tiếp)

thì luôn có 2 phần tử được lấy ra mà số này chia hết cho số kia. b) Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương n sao cho ước nguyên tố lớn nhất của

4 1 n  lớn hơn 2n .

---------------------Hết---------------------

Họ và tên thí sinh: ………………………………………………………....................... Số báo danh: …………...........

Chữ kí giám thị số 1:………………................................………Chữ kí giám thị số 2:…......................………....

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LẠNG SƠN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

LỚP 12 NĂM HỌC 2021 - 2022

HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN LỚP 12 CHUYÊN

(Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)

Chú ý: Những cách giải khác HDC mà đúng thì cho điểm theo thang điểm đã định. Câu Nội dung Điểm 1 (4 đ)    



2 2 1 1 1 1

3 2 2 2 6 10 2

x x y y

x y x x y

            

Điều kiện 2 2 0 2 6 0 x y x y        

.

Nhận xét từ (1) có 2 1 0 y y y   .

Vậy (1) 2 2

2

1 1 1 1 x x y y y y      

1,0

Xét hàm số 

2 1 f t t t  

Có  

2

2

1 ' 0 , 1

t t f t t R f t t

      

là hàm số đồng biến, liên tục trên .

Vậy phương trình   f x f y x y   

1,0

Khi đó 2 3 3 2 6 10 x x x           3 3 2 2 2 6 2 6 2 0 x x x x          

      3 3 6 2 2 2 6 0 3 2 2 6 2

x x x x x x

           

   9 2 2 6 0 3 3 2 2 6 2 x x x x                

.

1,0

Điều kiện: 9 3 6 3 2 2 6 2 3 2 2 x x

x         

.

Mặt khác 2 2 1 2 6 2 x

   

.

Do đó 9 3 2 6 1 2 3 2 2 6 2 x x x        

9 2 3 6 0, ; 6 2 3 2 2 6 2 x x x x

               

.

Từ đó:  3 2 x y    (TMĐK). Vậy hệ có nghiệm duy nhất   2;2 .

1,0

2 (4 đ) Cho dãy số   n u xác định bởi

1

1

0

. 3 , 1, 2 n

n

u a

u n n u 

         



a) Chứng minh rằng 1 1 1 1 2 n n u a     với mọi 1, n n   và dãy số   n u có giới

hạn. b) Tìm tất các giá trị của a để 2 1 2 1 k k u u    và 2 2 2 k k u u  với mọi 1, . k k  