Đề thi chọn học sinh giỏi Toán THPT cấp tỉnh năm 2021 2022 sở GD ĐT Long An

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LONG AN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2021 – 2022

MÔN THI: TOÁN Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề)

Câu 1. [HSG-LONG AN 2021-2022] Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:

2 2

2 2 1 1 (1)

1 (2).

x x y y

x y xy

         

Lời giải

Điều kiện 2 1 y .

Ta có:  2 2 2 2 1 1 1 1 * x x y y x y y x         Bình phương hai vế phương trình trên ta được phương trình hệ quả

2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 x xy y y x x y xy x y          .

Tiếp tục bình phương hai vế ta được  2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 3 x y x y x y y x       .

Kết hợp  3 với  2 ta có

  2 2 2 2 2 0 2 0 2 0 2

x y x x y xy x xy x x y y x

               .

Với 0 x  thế vào  2 ta được 1 y , thử lại phương trình (*) ta chỉ nhận nghiệm 1. y 

Với 2 y x  thế vào  2 ta được

2 2 2 2 1 3 2 3 4 22 1 3 3 3 x x x x y         (thỏa mãn).

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm   3 2 3 3 2 3 0;1 ; ; ; ; . 3 3 3 3

             

Câu 2. [HSG-LONG AN 2021-2022] a) Cho hàm số 2 1 1 x y x    có đồ thị   H và đường thẳng

   2 : 1 2 d y m x    với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để  d cắt   H

tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1x , 2x sao cho biểu thức   1 2 1 2 12 11 P x x x x    đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị   H và đường thẳng  d là

      2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1

x m x x x m x x x

                 

         2 2 2 2 2 2 1 5 1 0 1 5 1 0 *

1 3 0

m x m x m x m x

x

                      .

Do vậy, đường thẳng  d cắt đồ thị   H tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm

phân biệt     2 2 2 4 2 5 4 1 0 6 21 0 m m m m m           .

Theo định lý Viét ta có

2

2 2

2 2

1

1

5 1 1 1

x x m

x m x

m            

.

Khi đó   2 2

2 2 2 2 12 5 11 12 71 59 12 1 1 1 1

m m P m m m m

           .

Do 2 2 1 1 1 1 1 m m    . Suy ra 2 59 12 71 1 P m     .

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 0 m  .

Vậy 0 m  thì biểu thức P đạt giá trị lớn nhất bằng 71.

Câu 2. [HSG-LONG AN 2021-2022] b) Cho hàm số 2 2 2 4 5 y x m x x      với m là tham số thực. Tìm

tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có cực tiểu?

Lời giải Hàm số xác định trên . Đạo hàm

  2

2 2 2 4 5 2 2 2 4 5 4 5

x x m x x y m x x x x

            .

Hàm số có cực tiểu khi và chỉ khi 0 y có nghiệm và đổi dấu từ âm sang dương qua nghiệm đó. Ta có

 

2 2 2 4 5 ' 0 2 4 5 2 0 2 x x y x x m x m x             vì 2 x  không là nghiệm của phương

trình.

Xét hàm số 

2 2 4 5 , 2 2 x x f x x x      . Ta có



   

   

2

2

2 2 2

2 2 4 5 1 4 5 2 0 2 2 4 5

x x x x x x f x x x x x x

               .

Các giới hạn:   2 2 lim 2; lim ; lim ( ) ; lim ( ) 2 x x x x f x f x f x f x           .

Bảng biến thiên của hàm số

Ta xét các trường hợp