Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 12 môn Toán năm 2021 2022 sở GD ĐT Nghệ An

LỜI GIẢI THAM KHẢO ĐỀ THI HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM 2021-2022

Câu 1: (7,0 điểm)

a, Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 6 3 ( ) 5 2 y f x x x mx = = − + + đồng biến trên khoảng (0; ) +

Giải:

Ta có: 5 2 ' 6 15 y x x m = − + .

Để hàm số đồng y đồng biến trên khoảng (0; ) + thì ' 0 y  với (0; ) x  +

Hay 5 2 ( ) 6 15 m h x x x  = − + với (0; ) x  +

( ) 0; max ( ) m h x +  

Xét hàm số 5 2 ( ) 6 15 h x x x = − + trên (0; ) + có 4 2 '( ) 30 30 h x x x = − +

0( ) '( ) 0 1( ) 1( )

x ktm h x x ktm x tm

=   =  = −  = 

Ta có

( ) 0; (0) 0; (1) 9;lim ( ) max ( ) 9 x h h h x h x →+ + = = = − =

Vậy với 9 m  thì hàm số 6 3 ( ) 5 2 y f x x x mx = = − + + đồng biến trên khoảng (0; ) +

b, Giải hệ phương trình ( )

4 2 2

2 2 16 15 2 (3 4 17)

( 2 15) 5 1 3 14

y y x y x

y x x y x

 − + = − −  + − + − + + = 

Giải:

ĐKXĐ: 1 5 x − 

4 2 2

4 2 2

2 2

2

2

16 15 2 (3 4 17)

2 (3 8) 8 14 35 0

( 2 1)( 4 15) 0

2 1

4 15

y y x y x

y y x x x

y x y x

y x

y x

− + = − −

 − + + + + =

 − − − − =

 = +  = + 

+) Với 2 4 15 y x = + thay vào phương trình còn lại, ta được:

( )

( )

17 6 5 1 5 18 14 6 .

5 1 5 18

7 5 1 5 18 51 0(*)

x x x x

x x

x x x

− + − + = 

+ + +

 + + + + =

Vì 1 5 x −  nên ta có 1 1 1 (*) 7 5. 1 5. 18 51. 0 5 5 5 VT   − − −  + + + +       

Suy ra phương trình (*) vô nghiệm

+) Với 2 2 1 y x = + thay vào phương trình còn lại, ta được:

( ) ( )

( )

2

2 2

2

(4 14) 5 1 3 4 14 (2 7) 5 1 3 4 7

(2 7)(2 3) 7 7 5 1 3 4 (2 7)(2 3) 0 5 1 3 4

245 49 (5 7) 147 196 (3 14) 4 28 0

175 25 63 9 4 28 0 245 49 (5 7) 147 196 (3 14)

(

x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x x

x x x x x x x x x x

x x

− + − + =  − + − + =

− −  =  + + + − − − = + + +

     + − + − + − + − + =     − −  + − + = + + + + + +

− − 25 9 7) 4 0(**) 245 49 (5 7) 147 196 (3 14) x x x x

  + + =   + + + + + +  

Vì 1 5 x −  nên 25 9 4 0 245 49 (5 7) 147 196 (3 14) x x x x + +  + + + + + +

Nên (**) 0 7 x x

=  = 

Với 0 1 x y =  = 

Với 7 15 x y =  = 

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình ( ) ( )   ( ; ) (0;1);(0; 1); 7; 15 ; 7; 15 x y  − −

Câu 2:(4,0 điểm)

a, Cho hàm số bậc ba ( ) y f x = có đồ thị như hình bên. Tìm số

điểm cực trị của hàm số ( )

2 ( ) 8 g x f x x   = + −  

Giải:

Điều kiện: 0 8 x  

Ta có: ( ) ( ) 1 1 '( ) ' 8 . 8 8 g x f x x f x x x x   = − + − + −   −  

( )

( )

( )

( )

4 1 1 8 0;2 2 (1) 0 8

8 2 2;4 (2) '( ) 0 ' 8 0

8 2 2(3) 8 0

8 4(4)

8 2 2(5)

x

x x a x x

x x b g x f x x

x x f x x

x x

x x t

=     + − =   − =    −     + − =   =  + − =    + − =   + − =  + − =    + − =  

Xét hàm số ( ) 8 h x x x = + − trên   0;8 có 1 1 '( ) ; '( ) 0 4 2 2 8 h x h x x x x = − =  = −

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có

+)Phương trình (1); (5) vô nghiệm

+) (2) (0;4)

(4;8) x c x d =   =  

+) (3) 0 8 x x

=  = 

+) (4) 4( ) x kep  =

Bảng biến thiên của hàm số ( ) g x với 0 8 x  

Vậy hàm số ( ) g x có 3 điểm cực trị

b, Trong quá trình truy vết lịch sử tiếp xúc của bệnh nhân Covid-19 ở một trường học, trung tâm y tế xác định được 3 giáo viên và một số học sinh có sự liên quan đến bệnh nhân đó. Người ta chọn ngẫu nhiên 10 người trong số các giáo viên và học sinh liên quan để làm xét nghiệm gộp. Biết rằng xác suất để trong 10 người được chọn có 3 giáo viên bằng 6 lần xác suất trong 10 người được chọn đều là học sinh. Tính xác suất để trong 10 người được chọn làm xét nghiệm có nhiều nhất 2 giáo viên.

Giải: Gọi số học sinh liên quan đến bệnh nhân Covid -19 là ( ) 10 n n 

Ta có: ( )

10

3 n n C + =

Xác suất để chọn 10 người trong đó có 3 giáo viên bằng

3 7 7 3

10 10 3 3

. n n

n n

C C C C C + + =

Xác suất để chọn 10 người đều là học sinh là

10

10

3

n

n

C C +

Theo bài ra ta có:

7 10

7 10 10 10 3 3

! ! 6. 6. 6. 7!( 7)! 10!( 10)!

1 6 ( 7)( 8)( 9) 120 6.5.4 ( 7)( 8)( 9) 8.9.10 13

n n

n n n n

C C n n C C C C n n

n n n n n n n

+ + =  =  = − …