Đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn Toán cấp tỉnh năm 2020 2021 sở GD ĐT Thái Nguyên

NHÓM TOÁN VD – VDC

Trang 1

UBND TỈNH THÁI NGUYÊN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TOANMATH.com

Đề thi gồm có 01 trang

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12

NĂM HỌC: 2020 – 2021

Môn thi: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (6,0 điểm)

a) Tìm cực trị của hàm số 2 2 1 y x x x    .

b) Cho hàm số     7 4 2 2 2 3 2 5 3 2020 y x m m x m m m x        . Tìm tất cả các giá trị thực

của tham số m để hàm số nghịch biến trên . Câu 2. (6,0 điểm)

a) Giải bất phương trình

2 6 4 2 4 2 2

5 1

x x x

x

    



.

b) Giải phương trình 6 32cos sin3 3sin 2 x x x       

.

Câu 3. (3,0 điểm)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với 3 AB a  , 3 2 AD a  ,

  SA ABCD  , 4 SA a  . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SD và AD.

a) Tính góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng   BMN .

b) Mặt phẳng   đi qua hai điểm B , M và song song với AC . Biết mặt phẳng   cắt các cạnh

SA , SC lần lượt tại hai điểm E , F . Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng   BEMF .

Câu 4. (2,0 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB AC  (tam giác ABC không cân ). Gọi , O I lần lượt

là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của tam giác . ABC ( ) AD D BC  là đường phân giác

trong của . BAC Đường thẳng AD cắt đường tròn  O tại điểm ( ). E E A  Đường thẳng d đi

qua điểm I và vuông góc với AE cắt đường thẳng BC tại điểm . K Đường thẳng , KA KE cắt

đường tròn  O lần lượt tại các điểm , ( ; ). M N M A N E   Đường thẳng , ND NI cắt đường

tròn  O lần lượt tại các điểm , ( ; ). P Q P N Q N   Chứng minh rằng EQ là đường trung trực

của đoạn thẳng . MP

Câu 5. (2,0 điểm)

Cho dãy số ( ) n u với

1

2021 2020 1

2020

2020 (*) n n n n

u

u u u u 

      

.

a) Chứng minh lim n u .

b) Tính

2020 2020 2020 1 2

2 3 1 lim 2020 2020 2020

n

n

u u u u u u 

             .

NHÓM TOÁN VD – VDC

Trang 2

Câu 6. (1,0 điểm) Cho x , ,y z là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: 3 x y z    . Chứng minh rằng:

    2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 x y z x y y z z x      .

____________________ HẾT ____________________

NHÓM TOÁN VD – VDC

Trang 3

HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1:

a) Tìm cực trị của hàm số 2 2 1 y x x x    .

b) Cho hàm số     7 4 2 2 2 3 2 5 3 2020 y x m m x m m m x        . Tìm tất cả các giá trị thực

của tham số m để hàm số nghịch biến trên .

Lời giải

a) Tìm cực trị của hàm số 2 2 1 y x x x    .

2 2 1 y x x x    

TXĐ: D .

2

2 2 2 1 1 2 1 1

1 1

x x x x y

x x x x

         

.

 

 

 

2 2

2 2

2 1 0 1 2 1 0

0 1 2 1

1 2 1

x y x x x x x x

x x x

               





2 3 3 0

1 2 x x

x  

 



 

0 1

1 2 x x

x  

 



 

1 x   1 y  .

+∞ +∞ 0

x

y'

y

1

+

+ ∞ ∞

1

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại 1 x , 1 CT y .

b) Cho hàm số     7 4 2 2 2 3 2 5 3 2020 y x m m x m m m x        . Tìm tất cả các giá trị thực

của tham số m để hàm số nghịch biến trên .

    7 4 2 2 2 3 2 5 3 2020 y x m m x m m m x       

TXĐ: D .

    6 3 2 7 4 2 3 2 2 5 3 y x m m x m m m x       .

    6 3 2 0 7 4 2 3 2 2 5 3 0 y x m m x m m m x        

    5 2 2 7 4 2 3 2 2 5 3 0 x x m m x m m m            

     5 2 2 0

7 4 2 3 2 2 5 3 0 1

x

x m m x m m m

         

.