Đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn Toán cấp tỉnh năm 2020 2021 sở GD ĐT Cà Mau

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

CÀ MAU

TOANMATH.com

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT

MÔN TOÁN – LỚP 12 NĂM HỌC 2020 - 2021 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Ngày thi: 04 tháng 10 năm 2020

Câu 1: (3,0 điểm) Giải các phương trình sau:

a) cos2 5sin 3sin 2 5 3 cos 8 0 x x x x      .

b)  

2 3 1 4 2 6 3 x x x x x x       .

Câu 2: (3,0 điểm) a) Cho hàm số  y f x  có đạo hàm trên  và có bảng xét dấu của  f x  như sau: x  3  1  1 8   f x   0  0  0  0 

Tìm các điểm cực trị của hàm số    2 2 g x f x x   .

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

2 3 x x y x m    đồng biến trên   1;.

Câu 3: (3,0 điểm)

Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có đỉnh   1;2 A , đường trung tuyến và đường phân

giác trong hạ từ đỉnh B lần lượt có phương trình : 2 3 2 d x y   , 1 :9 3 16 d x y   . Tìm tọa độ

đỉnh C của tam giác ABC .

Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a . Biết SA SB SC a    .

Đặt   0 3 SD x x a    .

a) Tính số đo góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng   ABCD khi x a  .

b) Tính x theo a sao cho tích . AC SD lớn nhất.

Câu 5: (3,0 điểm)

a. Cho đa giác đều có 24 đỉnh, chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của   H . Tính xác suất để 4 đỉnh

chọn được tạo thành một hình chữ nhật nhưng không phải là hình vuông.

b. Cho  

13 2 1 4 3 P x x x    . Xác định hệ số của 3x trong khai triển  P x theo lũy thừa của

x . Câu 6: (3,0 điểm)

Cho dãy số   n u được xác định bởi 1 1  u và 2 1 3 2     , n n u u n .

a) Xác định số hạng tổng quát của dãy số   n u .

b) Tính tổng 2 2 2 1 2 2020     ... S u u u .

Câu 7: (2,0 điểm)

Cho hai số thực thay đổi ,x y với 0. x  Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2

2 2 2 2 ( 3 )( 12 )

xy P

x y x x y 

  

.

____________________ HẾT ____________________

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1: Giải các phương trình sau:

a) cos2 5sin 3sin 2 5 3 cos 8 0 x x x x      .

b)  

2 3 1 4 2 6 3 x x x x x x       .

Lời giải

a) cos2 5sin 3sin 2 5 3 cos 8 0 x x x x        5 sin 3cos 3sin 2 cos2 8 0 x x x x      

1 3 3 1 5 sin cos sin2 cos2 4 0 2 2 2 2 x x x x              

5sin sin 2 4 0 3 6 x x                    

Đặt 2 2 3 6 2 t x x t          .

Phương trình trở thành 5sin sin 2 4 0 2 t t            

.

5sin cos2 4 0 t t    

2 2sin 5sin 3 0 t t    

  sin 1

2 2 3 2 6 sin 2

t

t k x k k t

                

.

b)  

2 3 1 4 2 6 3 x x x x x x       .

Điều kiện: 1 4 x   .

    

     

  



2 3 1 1 1 4 2 6

3 3 2 3 1 1 1 4

3 0 1

1 1 2 2 1 1 1 4

PT x x x x x x

x x x x x x x x

x x

x x

        

         

            



0 1 3

x

x

   

.

Xét phương trình (2): Ta có 1 1 1 1 1 2 1 1 1 4 1 4 1

x

x x x

               

.

Dấu bằng xảy ra khi 1

4

x

x

   

(vô lí). Vậy phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm 0 x  và 3 x  .

Câu 2:

a) Cho hàm số  y f x  có đạo hàm trên  và có bảng xét dấu của  f x  như sau: