Đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn Toán cấp tỉnh năm 2020 2021 sở GD ĐT Lạng Sơn

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LẠNG SƠN

TOANMATH.com

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

MÔN TOÁN – LỚP 12 NĂM HỌC 2020 - 2021 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Đề thi gồm 01 trang + 05 bài toán tự luận

Câu 1. (4 điểm)

a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số   3 2 2 2 3 3 1 3 1 y x x m x m       có hai

điểm cực trị trái dấu.

b) Cho hàm số bậc ba 

3 2 1 3 y f x ax bx x c      và đường thẳng  y g x  có đồ thị như

trong hình vẽ bên và 5 AB  . Giải phương trình  

2 2 f x g x x    .

Câu 2. (6 điểm)

Giải hệ phương trình trong tập số thực

3 2 3 6 13 10

2 2 5 3

x x x y y

x y x y y

              

.

a) Giải phương trình     2 2 1 sin cos 1 cos sin 1 sin 2 x x x x x     .

b) Giải phương trình     2 2 1 sin cos 1 cos sin 1 sin 2 x x x x x     .

Câu 3. (2,0 điểm) Gọi S là tập hợp các số có 5 chữ số đôi một khác nhau abcde với

  , , , , 1,2,3,...,9 a b c d e . Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác suất để số được chọn là số

chẵn và thỏa mãn a b c d e     .

Câu 4. (2 điểm) Một khách sạn có 50 phòng. Hiện tại mỗi phòng cho thuê với giá 400 nghìn đồng một ngày thì toàn bộ phòng được thuê hết. Biết rằng cứ mỗi lần tăng giá lên them 20 nghìn đồng thì có thêm 2 phòng trống. Hỏi giám đốc phải chọn giá phòng mới là bao nhiêu để số tiền thu được của khách sạn trong 1 ngày là lớn nhất.

Câu 5. (6 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác đều . ' ' ' ABC A B C , . ' ' ' ABC A B C , M là trung điểm ' AA , G là trọng tâm tam giác ' ' ' A B C .

a) Gọi ' ' ; ' ' I MB A B J MC A C     . Tính thể tích '. ' ' A B C IJ V .

b) Tính khỏng cách giữa hai đường thẳng , BC MG .

c) Gọi là mặt phẳng qua và song song với . Tính tan góc tạo bởi mặt phẳng và  P và

  ' ' ' A B C .

____________________ HẾT ____________________

2

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1. (4 điểm)

a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số   3 2 2 2 3 3 1 3 1 y x x m x m       có hai

điểm cực trị trái dấu.

b) Cho hàm số bậc ba 

3 2 1 3 y f x ax bx x c      và đường thẳng  y g x  có đồ thị như

trong hình vẽ bên và 5 AB  . Giải phương trình  

2 2 f x g x x    .

Lời giải

a) Ta có     2 2 2 2 3 6 3 1 3 2 1 y x x m x x m          .

Gọi 1 2 , x x là hai nghiệm của phương trình 1 2 0 , y x x   là hai điểm cực trị

Theo định lý Vi-ét, ta có

1 2

2 1 2

2

1

x x

x x m

      

.

Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu  phương trình 0 y có hai nghiệm trái dấu, nghĩa là

2 1 2

1 0 1 0 1

m x x m m

       

.

b) Đặt  g x mx n   (với 0 m  ).

Ta có   1; A m n   ,   2;2 B m n  . Suy ra   3;3 AB m  

.

Ta lại có 2 2 16 4 5 9 9 25 9 3 AB m m m         (vì 0 m  ).

Do đó  4 3 g x x n   .

Dựa vào đồ thị, ta thấy        2 3 2 1 2 2 2 f x g x a x x a x x x         .

Mặt khác, ta lại có  

3 2 f x g x ax bx x c n       .

Đồng nhất hệ số, ta được  

3 2 2

1 2 2

2

b a a f x g x x x x

a c n

             

.

Do đó