Đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn Toán cấp tỉnh năm 2020 2021 sở GD ĐT Bình Thuận

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BÌNH THUẬN

TOANMATH.com

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

MÔN TOÁN – LỚP 12 NĂM HỌC 2020 - 2021 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Đề thi gồm 01 trang + 05 bài toán tự luận Bài 1. (6,0 điểm)

a. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số  

2 11 9 y x x    trên đoạn   0;4 .

b. Cho hàm số đa thức ( ) y f x  có đồ thị như sau: Tìm số điểm cực trị của hàm số   2 2 2 . y f x x   

Bài 2. (5,0 điểm) Xét dãy số   n u thỏa 1 , u a b   * 1 1 , ; n

n

ab u u n u    trong đó ,a b là hai số thực

dương.

a. Chứng minh   n u là dãy số giảm khi ; a b 

b. Tính lim . n u

Bài 3. (3,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ phương trình

2

1

3 0

x xy

x y m

      

có ba

nghiệm phân biệt. Bài 4. (2,0 điểm) Cho hai số nguyên dương k và n sao cho . k n  Xét tất cả các tập hợp con gồm k phần tử của tập hợp   1,2,..., . n Trong mỗi tập hợp con ta chọn ra phần tử nhỏ nhất. Chứng minh

tổng tất cả các phần tử được chọn bằng 1 1. k n C 



Bài 5. (4,0 điểm) Cho đường tròn  O có đường kính AB cố định, M là điểm di động trên  O sao cho

M khác với các điểm , A B và OM không vuông góc với . AB Các tiếp tuyến của  O tại A và

M cắt nhau tại . C Gọi  I là đường tròn đi qua M và tiếp xúc với đường thẳng AC tại . C

Đường thẳng OC cắt lại  I tại điểm thứ hai là . E

a. Chứng minh E là trung điểm của ; OC

b. Gọi CD là đường kính của . I Chứng minh đường thẳng qua D và vuông góc với BC luôn

đi qua một điểm cố định khi M di động trên . O

____________________ HẾT ____________________

x

y

O 1 

1

2

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1. a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số  

2 11 9 y x x    trên đoạn   0;4 .

b) Cho hàm số đa thức  y f x  có đồ thị như sau:

Tìm số điểm cực trị của hàm số   2 2 2 y f x x    .

Lời giải

a) Hàm số đã cho liên tục trên đoạn   0;4 .

Ta có

2

2 2 11 9

9

x x y

x

  



,

 

 

1 TM 0 9 KTM 2

x y

x

     

.

Ta có    0 33, 1 10 10, 4 35 y y y    .

Vậy

    0;4 0;4 min 35,max 10 10 y y   .

b) Đặt    2 2 2 g x f x x    . Ta có      2 2 1 2 2 g x x f x x       .

Gọi 1 2 3 , , x x x x x x    (với 1 2 3 x x x   ) là các điểm cực trị của hàm số  f x .

Từ đồ thị, ta có       1 2 3 1;0 , 0;1 , 1;2 x x x    .

Ta có   







2 2

1 1

2 2 2

2 2

2 2 3 3

1 1

2 2 0 1 1 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 2

2 2 2 2 0 3

x x

x x x x x x x g x f x x x x x x x x

x x x x x x

   

                                  

          

.

Xét phương trình (1), ta có   1 1 1 2 1 0 x x      nên phương trình (1) vô nghiệm.

Xét phương trình (2), ta có 2 1 0 x    nên phương trình (2) vô nghiệm.

Xét phương trình (3), ta có 3 1 0 x    nên phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt khác 1.

Như vậy phương trình  0 g x   có ba nghiệm đơn nên hàm số  g x có ba điểm cực trị.

Câu 2. Xét dãy số   n u thỏa * 1 1 1 , , n

n

ab u a b u u n u      ; trong đó ,a b là hai số thực dương.

a) Chứng minh   n u là dãy số giảm khi a b  .

b) Tính lim n u .

Lời giải