Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán THPT năm 2020 2021 sở GD ĐT Lào Cai

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LÀO CAI

TOANMATH.com

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT

NĂM HỌC 2020 – 2021

Môn thi: TOÁN THPT

Ngày thi: 18/01/2021

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Đề thi gồm 01 trang – 05 câu

Câu 1. (5,0 điểm)

a) Cho hàm số  y f x  liên tục trên , biết   

2 '( ) 2 4 f x x x    , x . Xét tính đơn điệu của

hàm số   2 3 y f x x   .

b) Cho hàm số    

2 2 1 y f x x x     , x . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm

số   2 2 y f x f x m    có 9 điểm cực trị.

Câu 2. (4,0 điểm)

a) Giải bất phương trình     2 3 2. 2 3 1 x x    .

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình  

2 2 2 log 2 2log 4 2 1 x m x x x m       có hai

nghiệm thực phân biệt.

Câu 3. (5,0 điểm)

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD biết AB a  , góc giữa hai mặt phẳng   SBC và   ABCD bằng 60°.

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và SC.

b) Lấy các điểm M, P lần lượt thuộc cạnh AD, SC sao cho 1 2 AM

AD  , 3 5 SP SC  . Gọi N là giao điểm của

SD với mặt phẳng   BMP . Tính thể tích của khối đa diện SABMNP.

Câu 4. (4,0 điểm)

Cho tập   1;2;3; ;2016 S   .

a) Hỏi có bao nhiêu tập con gồm 3 phần tử khác nhau chọn từ tập S, sao cho 3 số được chọn là độ dài 3 cạnh của một tam giác mà cạnh lớn nhất độ dài là 1000.

b) Chọn ngẫu nhiên 3 số khác nhau từ tập S. Tính xác suất sao cho 3 số được chọn là độ dài 3 cạnh của một tam giác mà cạnh lớn nhất độ dài là số chẵn.

Câu 5. (2,0 điểm)

a) Cho , 0 x y  và thỏa mãn 1 xy . Chứng minh rằng 1 1 2 1 1 1 x y xy     

.

b) Cho a, b, c là các số thực tùy ý thỏa mãn điều kiện 0 a b c    . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 3 2

b c a M a b c b a c            

.

-------------------- HẾT --------------------

https://toanmath.com/

Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . .

Chữ kí của giám thị 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chữ kí của giám thị 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 2020 - 2021

TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎI Trang 1

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI - SỞ LÀO CAI

NĂM HỌC 2020 – 2021

Môn: Toán 12

HỌC HỎI - CHIA SẺ KIẾN THỨC Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/1916660125164699 Câu 1. (5,0 điểm)

a) Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên  , biết ( )( ) 2 ( ) 2 4 , f x x x x ′ = − + − ∀∈ . Xét tính đơn

điệu của hàm số ( ) 2 3 y f x x = − .

b) Cho hàm số ( )( ) 2 ( ) 2 1 , y f x x x x = = + − ∀∈. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị

hàm số 2 ( ) ( ) 2 ( ) y g x f x f x m = = − − có 9 điểm cực trị .

Câu 2. (4,0 điểm)

a) Giải bất phương trình ( ) ( ) 2 3 2. 2 3 1 x x + − − > .

b) Tìm cất cả các giá trị của tham số m để phương trình ( ) 2 2 2 log 2 2log 4 2 1 x m x x x m + − = − − −

có hai nghiệm thực phân biệt. Câu 3. (5,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD biết AB a = , góc giữa hai mặt phẳng ( ) SBC và mặt phẳng

( ) ABCD bằng 60°.

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và SC .

b) Lấy các điểm M , P lần lượt thuộc các cạnh AD , SC sao cho 1 2 AM AD = , 3 5 SP SC = . Gọi N là

giao điểm của SD và mặt phẳng ( ) BMP . Tính thể tích của khối đa diện .S ABMNP .

Câu 4. (4,0 điểm) Cho tập {1;2;3;...;2016}. S =

a) Hỏi có bao nhiêu tập con gồm 3 phần tử khác nhau chọn từ tập S sao cho 3 số được chọn là độ dài ba cạnh của một tam giác mà cạnh lớn nhất có độ dài là 1000. b) Chọn ngẫu nhiên 3 số khác nhau từ tập S . Tính xác suất sao cho 3 số được chọn là độ dài ba cạnh của một tam giác mà cạnh lớn nhất có độ dài là số chẵn. Câu 5. (2,0 điểm)

a) Cho , 0 x y > và thỏa mãn 1. xy ≥ Chứng minh rằng 1 1 2 . 1 1 1 x y xy + ≥ + + +