Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2020 2021

Lời giải và bình luận đềthi VMO 2020

Nguyễn Tăng Vũ - Lê Phúc Lữ- Nguyễn Công Thành

§1 Đềthi ngày 1 (ngày 25/12/2020)

Bài 1 (5 điểm). Cho dãy sốthực (xn) có x1 ∈ 0, 1

2

và xn+1 = 3x2 n −2nx3 n với mọi

n ≥1.

a) Chứng minh lim xn = 0.

b) Với mỗi n ≥1 đặt yn = x1 + 2x2 + · · · + nxn. Chứng minh rằng dãy (yn) có giới hạn hữu hạn.

Bài 2 (5 điểm). Tìm tất cảcác hàm sốf : R →R thỏa mãn

f (x) f (y) = f (xy −1) + xf (y) + yf (x)

với mọi sốthực x, y.

Bài 3 (5 điểm). Cho tam giác nhọn không cân ABC có trực tâm H và D, E, F lần lượt là chân đường cao hạtừcác đỉnh A, B, C. Gọi (I) là đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF với tâm I và K, J lần lượt là trung điểm BC, EF. Cho HJ cắt lại (I) tại G, GK cắt lại (I) tại L.

a) Chứng minh rằng AL vuông góc với EF.

b) Cho AL cắt EF tại M, IM cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác IEF tại N, DN cắt AB, AC lần lượt tại P, Q. Chứng minh rằng PE, QF, AK đồng quy.

Bài 4 (5 điểm). Với sốnguyên n ≥2, gọi s (n) là tổng các sốnguyên dương không vượt quá n và không nguyên tốcùng nhau với n.

a) Chứng minh s (n) = n

2 (n + 1 −φ (n)), trong đó φ (n) là sốcác sốnguyên dương

không vượt quá n và nguyên tốcùng nhau với n.

b) Chứng minh rằng không tồn tại sốnguyên n ≥2 thỏa mãn s (n) = s (n + 2021).

§2 Đềthi ngày 2 (ngày 26/12/2020)

Bài 5 (6 điểm). Cho đa thức P (x) = a21x21 + a20x20 + · · · + a1x + a0 có các hệsố thuộc [1011, 2021]. Biết rằng P (x) có nghiệm nguyên và c là một sốdương sao cho |ak+2 −ak| ≤c với mọi k ∈{0, 1, . . . , 19}.

a) Chứng minh rằng P (x) có đúng một nghiệm nguyên.

1

Lời giải và bình luận đềthi VMO 2020

b) Chứng minh 10 P

k=0 (a2k+1 −a2k)2 ≤440c2.

Bài 6 (7 điểm). Một học sinh chia tất cả30 viên bi vào 5 cái hộp được đánh số 1, 2, 3, 4, 5 (sau khi chia có thểcó hộp không có viên bi nào).

a) Hỏi có bao nhiêu cách chia các viên bi vào các hộp (hai cách chia là khác nhau nếu có một hộp có sốbi trong hai cách chia là khác nhau)?

b) Sau khi chia, học sinh này sơn 30 viên bi đó bởi một sốmàu (mỗi viên được sơn đúng một màu, một màu có thểsơn cho nhiều viên bi), sao cho không có 2 viên bi nào trong cùng một hộp có màu giống nhau và từhai hộp bất kì không thểchọn ra được 8 viên bi được sơn bởi 4 màu. Chứng minh rằng với mọi cách chia, học sinh đều phải dùng không ít hơn 10 màu đểsơn bi.

c) Hãy chỉra một cách chia sao cho với đúng 10 màu, học sinh có thểsơn bi thỏa mãn các điều kiện ởcâu b).

Bài 7 (7 điểm). Cho tam giác nhọn không cân ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là giao điểm hai tiếp tuyến của (O) tại B và C. Đường tròn đi qua A và tiếp xúc với BC tại B cắt trung tuyến đi qua A của tam giác ABC tại G. Cho BG, CG lần lượt cắt CD, BD tại E, F.

a) Đường thẳng đi qua trung điểm của BE và CF lần lượt cắt BF, CE tại M, N. Chứng minh rằng các điểm A, D, M, N cùng thuộc một đường tròn.

b) Cho AD, AG lần lượt cắt lại đường tròn ngoại tiếp các tam giác DBC, GBC tại H, K. Trung trực của HK, HE, HF lần lượt cắt BC, CA, AB tại R, P, Q. Chứng minh rằng các điểm R, P, Q thẳng hàng.

2

Lời giải và bình luận đềthi VMO 2020

§3 Lời giải chi tiết và bình luận

Bài 1

Cho dãy sốthực (xn) có x1 ∈ 0, 1

2

và xn+1 = 3x2 n −2nx3 n với mọi n ≥1.

a) Chứng minh lim xn = 0.

b) Với mỗi n ≥1 đặt yn = x1 + 2x2 + · · · + nxn. Chứng minh rằng dãy (yn) có giới hạn hữu hạn.

Lời giải.

a) Ta sẽchứng minh 0 < xn < 1 2 (n −1) với mọi n ≥2 bằng quy nạp. Thật vậy, ta

có x2 = 3x2 1 −2x3 1 = x2 1(3 −2x2) ≤nên xét f (x) = 3x2 −2x3 trên 0, 1

2

, ta có

f ′ (x) = 6x (1 −x) ≥0 với mọi x ∈ 0, 1

2

, nên 0 = f (0) < (xn) < f 1

2

= 1

2,

hay 0 < x2 < 1

2.

Giảsử0 < xn < 1 2 (n −1) với n ≥2. Xét g (x) = 3x2 −2nx3 trên 0, 1 2 (n −1)

,

ta có 0 ≤x ≤ 1 2 (n −1) ≤1

n nên g′ (x) = 6x (1 −nx) ≥0, suy ra

0 = g (0) < g (xn) < g 1 2 (n −1)

.

Mà

1 2n −g 1 2 (n −1)

= 1

2n − 2n −3 4 (n −1)3 = (n −2) (2n2 −4n + 1)

4n (n −1)3 ≥0

với mọi n ≥2 nên ta suy ra 0 < g (xn) < 1

2n, hay 0 < xn+1 < 1

2n. Theo nguyên lí

quy nạp, ta có 0 < xn < 1 2 (n −1) với mọi n ≥2.

Từđó, cho n →+∞, áp dụng nguyên lí kẹp ta có …