Đề thi HSG lớp 12 môn Toán cấp tỉnh năm 2020 2021 sở GD ĐT Bà Rịa Vũng Tàu

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH BÀ RỊA - VŨNG TÀU

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề thi gồm 02 trang

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2020 – 2021

MÔN THI: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Ngày thi: 08/12/2020

ĐỀ BÀI

Câu 1: Giải phương trình 3 cos2 .sin 2cos sin 2cos x x x x x + = +

Câu 2: Tìm hệ số của số hạng chứa 9x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 3 3 1 n x x   +    

biết rằng

( ) 1 4 3 7 3 . n n n n C C n + + + − = +

Câu 3: Cho hình nón đỉnh S có đường cao SO . Gọi A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy nón

sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a ,  o 30 SAO = và  o 60 SAB = . Tính diện tích xung quanh của hình nón.

Câu 4: Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2 a . Gọi C′ là

trung điểm của SC . Mặt phẳng đi qua AC′ và song song với BD cắt SB tại B′ và cắt SD tại D′ . Tính thể tích khối chóp .S AB C D ′ ′ ′.

Câu 5: Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số

2 2 x x m y x m + − = − đồng biến trên khoảng

1 ; 2   −∞−    

.

Câu 6: Cho hàm số ( ) 3 2 2 2 ( 1) 4 3 3 y x m x m m x = + + + + + với m là tham số thực. Tìm tất cả giá trị của

m để hàm số có hai điểm cực trị 1 2 , x x và biểu thức ( ) 1 2 1 2 2 A x x x x = ⋅ − + đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 7: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh ,a SA vuông góc với mặt phẳng

( ) ABCD và SA a = . Gọi I là trung điểm của . SD Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB

và . CI Câu 8: Cho hình lăng trụ . ABC A B C ′ ′ ′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , AA a ′ = . Hình chiếu của

A đỉnh trên mặt phẳng ( ) A B C ′ ′ ′ trùng với trung điểm của A B ′ ′. Gọi ϕ là góc giữa hai đường

thẳng A B ′ và AC′. Tính cosϕ .

Câu 9: Cho hai số thực ,x y khác 0 , biết: ( ) ( ) ( )

1 2 2 2 2 1 1 1

y x y x x x x y

− + + = + − = + . Tính giá trị

biểu thức 2 2 2 2 2 2 x x y y P x y − − = − − + − − .

Câu 10: Giải phương trình ( ) ( ) 3 2 4 2 8 log log 5 log 3 1 x x x + − = +

Câu 11: Cho hàm số 3 2 3 1 y x x = − + có đồ thị ( ) C , đường thẳng ( ): 1 d y mx = + và điểm ( ) 3;10 K .

Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao cho ( ) C và ( ) d cắt nhau tại ba điểm phân biệt

, , A B C trong đó ( ) 0;1 A và trọng tâm của tam giác KBC nằm trên đường thẳng 2 3 y x = + .

2

Câu 12: (1,25 điểm). Tìm tất cả giá trị thực của m để hàm số ( ) ( ) 2 2ln 1 1 ln(2 ) y x m x m x = + − + − − đạt

cực tiểu tại điểm 1 x = .

Câu 13: Giải hệ phương trình

3 3 (1)

3 2 (2)

x y x y

y x x

 − = +  + = + 

.

Câu 14: Chọn ngẫu nhiên ba số đôi một khác nhau từ tập hợp {1;2;3; ;100} … gồm 100 số nguyên dương

đầu tiên. Tính xác xuất để chọn được ba số là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Câu 15: Cho khối lăng trụ . ABC A B C ′ ′ ′ có , 3 AB AC a BC a = = = . Các đường thẳng , , BB BA CA ′ ′ ′

cùng tạo với mặt phẳng ( ) ABC một góc 60. Điểm M nằm trên cạnh AA′ . Mặt phẳng ( ) α

qua M và song song với ( ) ABC lần lượt cắt các đoạn thẳng , , AB BC CA ′ ′ ′ tại các điểm

, , D E F . Biết rằng thể tích khối tứ diện A DEF ′ bằng 3 1 18 a , hãy tính tỉ số MA MA′ .

Câu 16: Xét 3 số thực dương , , a b c thay đổi. Tìm GTNN của biểu thức

2 2 2

2 2 2 4

1

a b c P b c c a a b a b c = + + + + + + + + +

.

____________________ HẾT ____________________