Đề thi học sinh giỏi tỉnh lớp 12 môn Toán năm 2020 2021 sở GD ĐT Nghệ An (Bảng A)

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1a. Cho phương trình ( ) sin cot 2 3 cos x x x = + . Hỏi phương trình đã cho có bao nhiêu

nghiệm thuộc khoảng ( ) 0;2020π

Lời giải Điều kiện sin 0 , x x k k π ≠ ⇔ ≠ ∈.

Ta có 2 x k π π = + không thỏa mãn phương trình đã cho.

Xét 2 x k π π ≠ + , phương trình ( ) sin cot 2 3 cos tan cot 2 3 x x x x x = + ⇔ = +

2 tan 2 3 1 tan 2 3 tan 2 3 tan 1 0 tan tan 2 3

x x x x x x

 = −+ ⇔ = + ⇔ − −= ⇔ = + 

12 5 12

x m

x n

π π

π π

= +  ⇔ = + 

(1) với , m n∈.

Xét 1 5 1 (*) 12 12 3 m n m n + = + ⇔ = + với , m n∈ nên phương trình (*) vô nghiệm. Suy ra các

nghiệm của hệ (1) là khác nhau.

Do ( ) 0;2020 x π ∈ nên ta có

0 2020 12 5 0 2020 12

m

n

π π π

π π π

< + <  ⇔  < + < 

1 1 2020 12 12 5 5 2020 12 12

m

n

− < < −   − < < − 

Suy ra { } 0;1;2;...2019 m∈ và { } 0;1;2;...2019 n∈ .

Vậy phương trình đã cho có tất cả 4040 nghiệm.

Câu 1b. Cho hệ phương trình: ( ) ( ) 2

2 2

4 1 3 5 2 0 (1)

4 2 3 4 (2)

x x y y

x y x m

 + + − − =  + + − = 

( ,x y∈, m là tham số). Tìm tất các các giá trị nguyên của tham số m để hệ phương trình có

nghiệm.

Lời giải

Điều kiện:

3 4 (*) 5 2

x

y

≤   ≤ 

Ta có: ( ) ( ) ( )

3 3 3 (1) 4 3 5 2 (2 ) (2 ) 5 2 5 2 (3) x x y y x x y y ⇔ + = − − − ⇔ + = − + −

Xét hàm số: 3 2 ( ) '( ) 3 1 0, f u u u f u u u = + ⇒ = + > ∀. Suy ra ( ) f u luôn đồng biến trên 

( ) 2 2 0 0 (2 ) 5 2 2 5 2 4 5 2 2 5 4

x x f x f y x y x y y x

≥ ≥   = − ⇔ = − ⇔ ⇔   = − = −  

Thế vào (2), ta được:

2 2 2 5 4 4 2 3 4 2 x x x m   − + + − =    

Xét

2 2 2 5 4 ( ) 4 2 3 4 2 x g x x x   − = + + −    

với 3 0; 4 x   ∈   

.

( ) 2 2 5 4 4 3 '( ) 8 8 2 4 4 3 0, 0; 2 4 3 4 3 4 g x x x x x x x x x     = − − − = − − < ∀∈     − −    

Để hệ đã cho có nghiệm ( ) 3 0 4 g m g   ⇔ ≤ ≤    

265 25 2 3 64 4 m ⇔ ≤ ≤ + .

Vậy các giá trị m nguyên cần tìm là 5,6,7,8,9.

Câu 2. a) Số phần tử của không gian mẫu: ??30 3

Gọi a là biến cố cần tính xác suất. Giả sử 3 số ghi trên ba quả cầu là a; b; c.

Ta có ??= ??+??

2 , suy ra a, c cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Từ 1 đến 30 cóa 15 số chẵn, 15 số lẻ.

Suy ra số kết quả thuận lợi của A là 2??15 2 .

Xác suất cần tính là: 2??15 2

??30 3 = 3

58

b) Cho dãy số ( ) nu xác định bởi 2 * 1 1 3, 2, . n n u u u n N + = = − ∀∈ Chứng minh rằng:

( ) 2 1 2 1 5 . ...u 4 n u u − + là một số chính phương.

Lời giải

Ta có: ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 2 3 2 3 2 2 ... 2 2 ... 2 n n n n n n u u u u u u u u u u u + + = − ⇒ = + ⇒ = + + +

( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 5 ... 2 ... 2 . n n u u u u u ⇒ = + +

Mà ( )( ) 2 1 2 2 2 . n n n n u u u u + = − = − +

Nên ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 1 1 1 1 2 2 2 ... 2 2 2 ... 2 n n n u u u u u u u + − = − + + = + + +

( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 1 2 1 5 ... 2 5 ... 4 2 n n n n n u u u u u u u u u + + ⇒ = − ⇒ + = + = (đpcm)

Cách 2:

Xét hàm đa thức đặc trưng:

1 2 2 * 1

3 1 3 5 3 3 1 0 . 2 2 n n

u a a a a a u u n N +

=  ± ⇒ + = ⇒ − + = ⇒ =  = − ∀∈ 

[ ]

( ) ( )

1

1

2

2

2

2

2 2 4 1 2 1 3 2 2 4

2

2

2 4 2 1 2 3 1 2 4 2

2 1 2 3 1 2

2 2

1 1 1 2 ...

1

1 1 1 1 ... ...

1 1 1 1 ... ...

1

n

n

n

n

n

n

n

n

n

u a u u a u u a a a a

u a a

u u u u a a a a a a a a

a u u u u a a a a a a a

a a

−

−

−

−

−

−

−

−

⇒ = + ⇒ = = + ⇒ = − = +

⇒ = +

      ⇒ = + + + +            

       ⇒ − = − + +              

 = −

2 2

2 2

2

2

2 2 2 2 2 2

2 1 2 3 1 2

1 1 1 ... ....

1 1 ...

n n

n n

n

n n

a a a a a a

a u u u u a a a

− −

− −

−

− −

      + + + + = = −              

  ⇒ − = −    