Đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn Toán năm 2020 2021 sở GD ĐT Quảng Trị

UBND TỈNH QUẢNG TRỊ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 12 Khóa ngày 06 tháng 10 năm 2020 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1. (5,0 điểm) 1. Tìm tất các các điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số cos sin . y x x  

2. Tìm m để phương trình 4 2 2 4 1 2 0 x x m     có đúng 5 nghiệm phân biệt.

Câu 2. (5,0 điểm) 1. Chứng minh rằng 1 2 1010 2019 2020 2020 2020 2 ... 1010 1010.2 . C C C     2. Tìm tất cả các cặp số thực   ;x y thỏa mãn 4 xy  và

     2 20 8 . x y x y xy      Câu 3. (6,0 điểm) 1. Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh ,a tam giác SAB vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp .S ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC theo .a 2. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn ( ). I Gọi , , M D E lần lượt là trung điểm của , , ; BC IB IC , F G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD và . ACE Chứng minh rằng AM vuông góc . FG Câu 4. (2,0 điểm) Cho dãy số   nx được xác định bởi 1 2 x  và 1 2 , 1. n n x x n    Chứng minh

dãy số   nx có giới hạn và tìm giới hạn đó. Câu 5. (2,0 điểm) Xét các số thực dương , , a b c có tổng bằng 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 18 . b c c a a b abc P a b c ab bc ca         

========== HẾT ========== Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.

HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1.1. Tìm tất các các điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số cos sin . y x x  

' sin cos y x x   ;

2 4 ' 0 3 2 4

x k y x k

 

 

       

'' sin cos y x x   ; 3 '' 2 2 0; '' 2 2 0 4 4 y k y k                       

Vậy các điểm cực đại của hàm số là: 3 2 4 x k     ; Các điểm cực tiểu của hàm số là:

2 4 x k    

Câu 1. 2. Tìm m để phương trình 4 2 2 4 1 2 0 x x m     có đúng 5 nghiệm phân biệt.

4 2 4 2 2 4 1 2 0 2 4 1 2 x x m x x m         .

Cách 1: Xét hàm số 4 2 ( ) 2 4 1 f x x x    có BBT của hàm số ( ) f x và ( ) f x

Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm cửa đồ thị hàm số ( ) f x và đường thẳng y m  . Vậy phương trình đã cho có đúng 5 nghiệm phân biệt khi 2 1 m  hay 1. 2 m 

Cách 2: (HS 10,11). 4 2 2 4 1 2 (1) x x m    . Đặt

  2, 0 t x t  

PTTT: 2 2 4 1 2 t t m    (2).

Xét hàm số 2 ( ) 2 4 1 f t t t    trên [0; ) . | ( )| f t có đồ thị Biện luận các trường hợp số nghiệm của (2) và (1).

Từ đó kết luận 1. 2 m 

Cách 3: Nhận thấy nếu 0x là nghiệm của (1) thì 0x  cũng là nghiệm của pt (1). Do đó nếu các nghiệm 0 ix  thì số nghiệm của phương trình (1) là số chẵn. Vậy đk cần để

pt có 5 nghiệm là pt (1) có nghiệm 0 0 x  , thế vào tìm được 1. 2 m  Giải phương

trình khi 1 2 m  và kết luận.

Câu 2.1. Chứng minh rằng 1 2 1010 2019 2020 2020 2020 2 ... 1010 1010.2 . C C C    

Cách 1: Ta có:  

1 1 ! ( 1)! . . ! ! ( 1)!( )!

k k n n n n k C k n nC k n k k n k

        

1 0 2020 2019

2 1 2020 2019

1010 1009 2020 2019

2020

2 2020 ...

1010 2020 .

C C

C C

C C







  0 1 1009 2019 2019 2019 2020 ... VT C C C    

Xét 0 1 1009 1010 2019 2019 2019 2019 2019 2019 2019 ... ... 2 C C C C C        . Mà k n k n n C C   nên   0 1 1009 2019 2019 2019 2019 2 ... 2 C C C     .

Vậy   0 1 1009 2019 2019 2019 2019 2020 ... 1010.2 VT C C C      .

Cách 2: Xét 2020 0 1 2 2 2020 2020 2020 2020 2020 2020 (1 ) ... x C xC x C x C       Suy ra được: 2019 1 2 2019 2020 2020 2020 2020 2020(1 ) 2 ... 2020 x C xC x C     

1 2 1010 1011 2020 2019 2020 2020 2020 2020 2020 2 ... 1010 1011 ... 2020 2020.2 C C C C C       

Ta có:  

1 ! ! ! . . ( 1) ( 1) ! ! ( 1)!( )! ( 1)!( 1)!

k n k n n n n n k C k n k n k C k n k k n k n k k

              

Do đó:

1 2020 2020 2020

2 2019 2020 2020

1010 1011 2020 2020

2020

2 2019

...

1010 1011

C C

C C

C C







Vậy: 1 2 1010 2019 2020 2020 2020 2 ... 1010 1010.2 C C C     Câu 2.2. Tìm tất …