Đề thi chọn HSG Toán THPT cấp tỉnh năm 2019 2020 sở GD ĐT Ninh Thuận

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NINH THUẬN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC: 2019 - 2020 Khóa ngày: 21/03/2020 Môn thi: TOÁN - THPT Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

ĐỀ:

(Đề thi có 01 trang / 20 điểm)

Bài 1: Cho , ,z x y là các số thực dương thỏa 1 xyz . Chứng minh rằng

      3 3 3 1 1 1 3 2 x y z y z x z x y       .

Lời giải

     

2 2 2 1 1 1

VT y x z x y z y z x z x y       .

Áp dụng bất đẳng thức C-S, ta có:        

2

2 2 2 1 1 1 1 1 1

2 x y z y x z x y z y z x z x y xy yz zx

                .

Theo giả thiết , ,z x y là các số thực dương thỏa 1 xyz , khi đó:

 

2 3 3 3 VT VT VT 2 2 2

xyz xy yz zx        (đpcm).

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 x y z   .

Bài 2: Giải phương trình

2 2 5 14 9 20 5 1 x x x x x       .

Lời giải

Điều kiện xác định:

2

2 5 14 9 0

20 0 5 1 0

x x

x x x x

            

.

Ta có:     2 2 2 5 14 9 5 1 20 2 5 2 5 1 4 5 x x x x x x x x x x              .

Đặt

2 4

4 5

u x

v x x

  

    với điều kiện: 3, 0 u v   .

Khi đó phương trình trên trở thành:

    2 2 3 2 5 3 2 0 u v uv u u v v u v           3 2 0 3 2 u v u v u v u v          .

TH1: u v  suy ra: 2 2

5 61 2 4 4 5 5 9 0

5 61 2

x x x x x x

x

                 

.

Đối chiếu điều kiện nhận 5 61 2 x   .

TH2: 3 2 u v  suy ra: 2 2

8 3 4 2 4 5 4 25 56 0 7 4

x x x x x x x

            

.

Đối chiếu điều kiện nhận 8 x  .

Vậy tập nghiệm của phương trình 5 61 ;8 2 S           

.

Bài 3: Cho 2, 3, 4 a b c    . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

4 2 3 ab c bc a ca b N abc       .

Lời giải

Ta có: 4 2 3 2 4 2 2 3 3 2 2 3 c a b c a b N c a b c a b             .

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

1 4 4 1 2 2 1 3 3 1 1 1 2 2 2 2 4 2 3 2 2 2 3 c c b N N c a b            .

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

2 4 8 2 2 4 6 3 3

c c a a b b

                 

.

Bài 4: Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số, trong đó 2 có mặt đúng hai lần, chữ số 3 có mặt đúng ba lần và các chữ số khác có mặt tối đa một lần.

Lời giải TH1: Xếp số 0 ở mọi vị trí. Lấy 3 vị trí, xếp số 3 vào ba vị trí có: 3 7 C cách.

Lấy 2 vị trí tiếp theo, xếp số 2 vào hai vị trí có: 2 4 C cách.

Xếp 2 vị trí còn lại có thứ tự, có: 2 8A cách.

Vậy theo quy tắc nhân có 3 7 C 2 4 C 2 8A 11760  số.

TH2: Xếp số 0 vị trí đầu. Lấy 3 vị trí, xếp số 3 vào ba vị trí có: 3 6 C cách.

Lấy 2 vị trí tiếp theo, xếp số 2 vào hai vị trí có: 2 3 C cách.

Xếp 1 vị trí còn lại có thứ tự, có: 1 7 A cách.

Vậy theo quy tắc nhân có 3 6 C 2 3 C 1 7 A 420  số.

Từ trường hợp 1 và trường hợp 2, ta có 11760 420 11340   số thỏa mãn điều kiện bài toán.

Bài 5: Cho tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp 1 R  và sin sin sin 3

a b c

A B C m m m   

(với , , a b c m m m lần lượt là độ dài của các đường trung tuyến xuất phát từ các đỉnh , , A B C của tam giác ABC ). Chứng minh rằng tam giác ABC đều.

Lời giải

Xét bài toán: Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 3 . a a b c a m    .

Áp dụng công thức trung tuyến, ta có:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 a a b c a m m b c a        .

Suy ra: 2 2 2 2 3 . 3 2 2 a a m a b c a    .

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 3 . 3 2 2 3 . 2 a a a b c a a m a b c a a m a b c            (đpcm).

Theo giả thiết, ta có 1 R  suy ra sin ,sin ,sin 2 2 2 a b c A B C    ;

Khi đó: sin sin sin 3 1 2 3 2 3 2 3 a b c a b c

A B C a b c m m m m m m       

2 2 2

1 2 3 2 3 2 3 a b c

a b c am bm cm    (*).

Áp dụng bài toán chứng minh trên, ta có:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 3 .

2 3 .

2 3 .

a

b

c

a m a b c

b m a b c

c m a b c

             

.

Khi đó ta hoàn toàn chứng minh được:

2 2 2

1 2 3 2 3 2 3 a b c

a b c am bm cm    

Thật vậy:

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 …