Đề chọn HSG lớp 12 môn Toán cấp trường năm 2019 2020 THPT chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương

SỞ GD & ĐT HẢI DƯƠNG

TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI

Ngày 7 tháng 9 năm 2019

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2019 - 2020

MÔN TOÁN – 12

Thời gian làm bài : 180 Phút

Câu 1. (1,5 điểm) Giải hệ phương trình

3 3 2

2 2 2 3 3 2

1 3 2 2

x y y x

x x y y

           

Câu 2. (2,0 điểm) Cho dãy số ( ) na thỏa mãn đồng thời hai điều kiện 1 3 n n a a  và

1 1 6 5 2, . n n n a a a n n       Chứng minh rằng dãy ( ) na có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Câu 3. (2,0 điểm ) Cho các số thực dương , , x y z thỏa mãn 2 1 xy yz zx xyz    . Chứng minh rằng

2 2 2 10 2 x y z xyz     .

Câu 4. (1,5 điểm) Cho dãy số nguyên ( ) na thỏa mãn: với mọi p nguyên tố và k nguyên dương thì

1 3 13 pk k p a pa a    . Tính 2019 a

Câu 5. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Một đường tròn (K) qua B và C cắt các đoạn thẳng CA và AB lần lượt tại E và F. Gọi BE cắt CF tại H. M là trung điểm BC và tiếp tuyến tại B và C của đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC cắt nhau tại I. Gọi S là hình chiếu của A trên IH và D là giao của IH với BC. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác SMD tiếp xúc với đường tròn (O).

Câu 6. (1,0 điểm)

Điền vào mỗi ô của bảng vuông 7 7  các số tự nhiên từ 1 đến 49 như hình vẽ. Mỗi lần, được phép chọn 1 ô của bảng và đồng thời tăng số trong ô đó thêm 1 rồi giảm mỗi số trong hai ô nào đó kề với nó đi 1, hoặc giảm số trong ô đó đi 1 và tăng mỗi số trong hai ô kề với nó thêm 1 (hai ô kề nhau là hai ô chung cạnh). Hỏi có thể đưa tất cả các số trong bảng về bằng nhau sau một số hữu hạn bước được hay không?

49 48 47 46 45 44 43

42 41 40 39 38 37 36

35 34 33 32 31 30 29

28 27 26 25 24 23 22

21 20 19 18 17 16 15

14 13 12 11 10 9 8

7 6 5 4 3 2 1

ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2019-2020

Câu 1. (1,5 điểm) Giải hệ phương trình

3 3 2

2 2 2 3 3 2

1 3 2 2

x y y x

x x y y

           

Lời giải:

Điều kiện 2 2 2 2 1,2 1 ( 1) 0 ( 1) 1 x y y y y        

Ta có 3 3 2 (1) 3 3 2 x x y y     

3 3 3 ( 1) 3( 1) x x y y      

Xét 3 ( ) 3 f x x x   thì 2 '( ) 3 3 0 [ 1,1] f x x x   và '( ) 0 1 f x x   

Suy ra ( ) f x đồng biến trên [ 1,1] 

Mà , 1 [ 1,1] x y  nên ( ) ( 1) 1 f x f y x y     

Thay vào phương trình (2) ta được 2 2 2 2 1 3 1 0 x x x      2 2 2 2 1 x x    

Bình phương hai vế 4 2 2 4 2 4 4 4(1 ) 8 0 0 x x x x x x          .

Đối chiếu điều kiện thấy thỏa mãn.

Vậy ( , ) (0,1) x y  là nghiệm của phương trình

Câu 2. (2,0 điểm) Cho dãy số ( ) na thỏa mãn đồng thời hai điều kiện 1 3 n n a a  và

1 1 6 5 2, . n n n a a a n n       Chứng minh rằng dãy ( ) na có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Lời giải:

 Nếu N   sao cho 0 N a , ta có 3 0 k

N k N a a   với mọi k nguyên dương hay 0 na n N 

Lại có: 1 1 1 0 5 6 6 5 0 6

n

n n n n n a a a a a a               .

Ta được lim 0 na  theo nguyên lý kẹp.

(1,0 điểm)

 Nếu 0 na n   , thì 1 0 1 3 0 3

n

n n n a a a a           nên cũng theo nguyên lý kẹp thì

lim 0 na 

Vậy lim 0 na 