Đề chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia 2020 môn Toán sở GD ĐT Bắc Ninh

UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang)

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM 2020

Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi thứ nhất: 24/9/2019 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

Câu 1 (5,0 điểm)

Cho hai dãy số ( ), n u ( ) nv xác định như sau 0 0 ; u a v b   với hằng số thực ,a b cho trước thỏa

mãn 0 a b   và 1 , 2

n n n

u v u 

  1 1. n n n v u v    với mọi số tự nhiên n .

a) Chứng tỏ hai dãy đã cho đều hội tụ và có giới hạn bằng nhau. b) Tìm giới hạn đó theo ,a b.

Câu 2 (5,0 điểm)

Cho số nguyên tố p . Chứng minh rằng tồn tại vô số số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện

2019 2020 2018 (mod ) n n p    .

Câu 3 (5,0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC không cân. Gọi , H O lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp

tam giác ABC ; , D E lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh , A B của tam giác . ABC Các đường

thẳng OD và BE cắt nhau tại , K các đường thẳng OE và AD cắt nhau tại . L Gọi M là trung điểm

cạnh . AB Chứng minh ba điểm , , K L M thẳng hàng khi và chỉ khi bốn điểm , , , C D O H cùng nằm trên một đường tròn. Câu 4 (5,0 điểm)

Tìm tất cả các đa thức  f x có hệ số thực và bậc là số tự nhiên lẻ sao cho:

   2 2 1 1, f x f x x     .

------------ Hết ------------ Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:.....................................................................Số báo danh :…………...

UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM 2020

Môn thi: Toán (Hướng dẫn chấm có 04 trang)

Câu Đáp án Điểm

1.a

Cho 2 dãy số ( ) n u , ( ) nv xác định như sau:

0 0 ; u a v b   với hằng số thực ,a b cho trước thỏa mãn 0 a b   và 1 2

n n n

u v u 

  ,

1 1. n n n v u v    với mọi số tự nhiên n .

a) Chứng tỏ hai dãy đã cho đều hội tụ và có giới hạn bằng nhau.

2,0

Ta chứng minh quy nạp rằng 1 n n n u u v    và 1 1 n n n u v v     với mọi n .

Do đó, 2 dãy đã cho là đơn điệu và bị chặn bởi 0 0 ; u a v b   nên hội tụ. 1,0

Từ 1 2

n n n

u v u 

  , cho qua giới hạn ta được 1

lim lim lim 2

n n n

u v u 

  hay lim lim n n u v 

(đpcm).

1,0

1.b b) Tìm giới hạn đó theo ,a b . 3,0

Do 0 a b   nên đặt cos a b   với (0; ) 2   . Ta chứng minh rằng

2 1 2 1 cos .cos ...cos .cos 2 2 2 2 n n n u b      

1,0

Và 1 2 cos .cos ...cos 2 2 2 n n v b     với mọi số nguyên dương n .

1,0

Từ đó rút gọn biểu thức ta được sin sin

2 sin 2

n n n

n

b b v        .

Vậy

2 2 lim lim

arccos

n n

b a u v a b

        

.

1,0

2

Cho số nguyên tố p . Chứng minh rằng, tồn tại vô số số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện

2019 2020 2018(mod ) n n p    .

5,0

Ta xét 2 trường hợp. Trường hợp 1. Nếu p là ước nguyên tố của 2020, khi đó, chỉ cần chọn 2018 n p  là thỏa mãn. Việc này chứng tỏ tìm được vô số n .

1,0

Trường hợp 2. Nếu p không là ước nguyên tố của 2020, khi đó ( ,2020) 1 p .

Chọn 2019 0(mod 1) 2018 1(mod ) n p n p       

2,0