Đề thi HSG lớp 12 môn Toán lần 2 năm 2019 2020 trường THPT Đồng Đậu Vĩnh Phúc

SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT ĐỒNG ĐẬU

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TRƯỜNG

LẦN 2 NĂM HỌC 2019 – 2020

MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hàm số 4 2 1 2 1 4 = − + y x x có đồ thị là ( ) C . Tính diện tích tam giác có các đỉnh

là các điểm cực trị của đồ thị ( ) C .

Câu 2 (1,0 điểm). Cho hàm số 2 1 1 x y x − = + có đồ thị ( ) C . Tìm m để đường thẳng : d y x m = −+ cắt

( ) C tại hai điểm phân biệt A và B sao cho PAB ∆ đều, biết ( ) 2;5 P . Câu 3 (1,0 điểm). Một mảnh đất hình chữ nhật ABCDcó chiều dài 25 AB m = , chiều rộng 20 AD m = được chia thành hai phần bằng nhau bởi vạch chắn MN ( , M N lần lượt là trung điểm BC và AD ). Một đội xây dựng làm một con đường đi từ Ađến C qua vạch chắn MN , biết khi làm đường trên miền ABMN mỗi giờ làm được 15mvà khi làm trong miền CDNM mỗi giờ làm được30m. Tính thời gian ngắn nhất mà đội xây dựng làm được con đường đi từ A đến C . Câu 4 (1,0 điểm). Tính tổng các nghiệm [ ] ; x π π ∈− của phương trình:

2(cos 3sin )cos cos 3sin 1. x x x x x + = − + Câu 5 (1,0 điểm). Trong cuộc thi: "Thiết kế và trình diễn các trang phục dân tộc" do Đoàn trường THPT Đồng Đậu tổ chức vào tháng 11 năm 2019 với thể lệ mỗi lớp tham gia một tiết mục. Kết quả có 12 tiết mục đạt giải trong đó có 4 tiết mục khối 12, có 5 tiết mục khối 11và 3 tiết mục khối 10. Ban tổ chức chọn ngẫu nhiên 5 tiết mục biểu diễn chào mừng 26 tháng 3. Tính xác suất sao cho khối nào cũng có tiết mục được biểu diễn và trong đó có ít nhất hai tiết mục của khối 12.

Câu 6 (1,0 điểm). Cho dãy số (????) với ????=

2 2 1 1 1 ( 1) . n n e

+ + +

Tính 1 2 3 2019 . ... u u u u . Câu 7 (1,0 điểm). Cho hình hộp đứng 1 1 1 1 . ABCD A B C D có các cạnh 1 2, 3 AB AD AA = = = và

góc  0 60 BAD = . Gọi , M N lần lượt là trung điểm của các cạnh 1 1 A D và 1 1. A B Chứng minh rằng 1 AC vuông góc với mặt phẳng ( ) BDMN . Câu 8 (1,0 điểm). Cho hình chóp .S ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật có 3, 6, AB BC = = mặt phẳng ( ) SAB vuông góc với đáy, các mặt phẳng ( ) SBC và ( ) SCD cùng tạo với mặt phẳng

( ) ABCD các góc bằng nhau. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD bằng 6. Tính thể tích khối chóp .S ABCD và cosin góc giữa hai đường thẳng SA và . BD Câu 9 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ ( ) Oxy , cho tam giác ABC ngoại tiếp đường

tròn tâm ( ) 2;1 . J Biết đường cao xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC có phương trình:

2 10 0 x y + − = và ( ) 2; 4 D − là giao điểm thứ hai của AJ với đường tròn ngoại tiếp tam giác . ABC Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết B có hoành độ âm và B thuộc đường thẳng có phương trình 7 0. x y + + =

Câu 10 (1,0 điểm). Cho các số thực ,a b thỏa mãn điều kiện 0 1. b a < < < Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức ( ) 2 4 3 1 log 8log 1. 9 a b a

b P a − = + −

------------- HẾT -------------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu và không được sử dụng máy tính cầm tay.

SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT ĐỒNG ĐẬU

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI

LỚP 12 LẦN 2 NĂM HỌC 2019– 2020

MÔN: TOÁN

Câu Nội dung trình bày Điểm

1

Cho hàm số 4 2 1 2 1 4 = − + y x x có đồ thị là (C). Tính diện tích tam giác có các đỉnh là các

điểm cực trị của đồ thị (C).

1,0

Ta có 3 0

' 4 ; ' 0 2 .

2

x

y x x y x

x

=   = − = ⇔ =  = − 

Suy ra 3 điểm cực trị là ( 2; 3); (0;1); (2; 3) − − − A B C .

0.25

Các điểm cực trị tạo thành tam giác ABC cân tại B.

Gọi H là trung điểm của AC (0; 3) ⇒ − H và ⊥ BH AC .

0.25

Ta có (0; 4) 4 − ⇒ =  BH BH ; (4;0) 4 ⇒ =  AC AC . 0.25

Vậy diện tích cần tìm: 1 1 . . .4.4 8 2 2 = = = S BH AC (đvdt). 0.25

2

Cho hàm số 2 1 1 x y x − = + có đồ thị ( ) C . Tìm m để đường thẳng : d y x m = −+ cắt ( ) C

tại hai điểm phân biệt A và B sao cho PAB ∆ đều, biết ( ) 2;5 P .

1,0

Hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị ( ) C là nghiệm phương trình 2 1 1 x x m x −= −+ ⇔ + ( ) 2 ( 3) 1 0 1 x m x m − − − −= ( 1 x = −không là nghiệm của (1)).

0,25

Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình ( ) 1 có

hai nghiệm …