Đề chọn đội tuyển HSG lớp 12 môn Toán năm 2019 2020 trường Lê Quý Đôn Hà Nội

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN - ĐỐNG ĐA

(Đề gồm 01 trang)

ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG 12

MÔN: TOÁN NĂM HỌC: 2019 - 2020

Thời gian làm bài 180 phút

Câu 1 (4 điểm).

Tìm m để đồ thị hàm số 3 2 3 2 y x x mx m      cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

, , A B C sao cho tổng hệ số góc của các tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại các điểm

, , A B C bằng 3.

Câu 2 (6 điểm).

a. Giải phương trình:   2sin 2 cos2 2 2 sin 2 .cos sin 2cos . x x x x x x     

b. Giải hệ phương trình:   3 2

2

2 2 1. 3 2 0

x y x xy

x x y

          

Câu 3 (4 điểm).

Cho dãy số   n u xác định bởi

1 *

2 1

2020

, . 2019 2 2 n n n

u n u u u 

        



Đặt

1 2

1 1 1 ... 2 2 2 n

n S u u u        . Tính lim . n S

Câu 4 (4 điểm).

Cho hình chóp tam giác đều .S ABC có cạnh đáy bằng 1. Gọi , M N là hai điểm thay

đổi lần lượt thuộc các cạnh , AB AC sao cho mặt phẳng   SMN luôn vuông góc với

mặt phẳng   ABC . Đặt , . AM x AN y  

a. Chứng minh rằng 3 . x y xy  

b. Tìm , x y để SMN  có diện tích bé nhất, lớn nhất.

Câu 5 (2 điểm).

Cho , , a b c là các số thực dương thoả mãn 3 a b c    . Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức.

    3 2 . 3 6 1 1 1 abc abc P ab bc ca a b c         

----------------------- HẾT -----------------------

Thí sinh không sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

ĐÁP ÁN ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI 12

CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM

1

Tìm m để đồ thị hàm số 3 2 3 2 y x x mx m      cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

, , A B C sao cho tổng hệ số góc của các tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại các điểm

, , A B C bằng 3.

4

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình

3 2 3 2 0 (1) x x mx m      có 3 nghiệm phân biệt.

3 2 2 3 2 0 ( 1)( 2 2) 0 x x mx m x x x m           

1,0

Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt 2 2 2 0 x x m      (2) có hai nghiệm phân

biệt khác 1 (*) ' 3 0 3 1 2 2 0 m m m            

.

1,0

Gọi 1 2 , x x là nghiệm của phương trình (2), suy ra tổng hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị

hàm số tại giao điểm , , A B C là:

2 1 2 1 2 1 2 1 2 '(1) '( ) '( ) 3( ) 6 6( ) 3 3 9 3 y y x y x x x x x x x m m           

1,5

Tổng HSG của các tiếp tuyến bằng 3 9 3 3 2 m m      (t/m đk (*)).

ĐS: 2 m 

0.5

2

a

Giải phương trình:   2sin 2 cos2 2 2 sin 2 .cos sin 2cos x x x x x x     

1,0

   

      2

os2x = 2 sin 2x.cosx - sin2x 2 sin x - sin2x 2 2cosx - 2

2 os 1 sin 2x 2 osx -1 2 sinx 2 osx -1 2 2 osx -1

c

c x c c c

  

   

1,0

   



  

2 osx +1 2 osx -1 2 osx -1 sin 2x - 2 sinx +2

1 osx = 1 2

2 sinx + cosx 2sinx.cosx - 1 = 0 2

c c c

c

     

  

  

0.5

+ (1) 2 4 x k     

+ (2) 2 4 4 x k x k           ,

Kết luận phương trình có 3 họ nghiệm : ………..

0.5

b

Giải hệ phương trình:   3 2

2

2 2 1

3 2

x y x xy

x x y

         

.

3

Viết lại hệ:    2

2

2 1

2 2

x x x y

x x x y

    

    

1,0

Đặt 2 2 , u x x v x y     . Dễ có: 1 u .

Hệ trở thành: . 1

2 u v u v     

0.5

Suy ra: 1 1 u v

   

0.5

Ta có

2 2 1 1 x x x y

     

0.5

1 0 x

y

    

0.5

3

Cho dãy số  n u xác định bởi:

1 *

2 1

2020

, 2019 2 2 n n n

u n u u u 

        



Đặt

1 2

1 1 1 ... 2 2 2 n

n S u u u        . Tính:lim n S .

4

Ta chứng minh * 1, (1) n u n   bằng phương pháp qui nạp toán học.

Với 1

2020 1, 1 (1) 2019 n u    đúng với 1 n  .

Giả sử (1) đúng với ( 1) n k k   ta có   1 ku gtqn  . Ta phải chứng minh (1) đúng với

1 n k   tức là phải chứng minh 1 1 ku  .

Thật vậy

2 2 2

1 1 1 2 2( 1) 1 1 1 0 1 0 1. 2 2 2 2

k k k k k k k k u u u u u u u u               

Theo nguyên lý qui nạp toán học ta có * 1, n u n  

Mặt khác 2 * 1 0, n n n n u u u u n      vì dãy số 1 nu  nên dãy số   n u là …