Đề thi chọn HSG tỉnh lớp 12 môn Toán năm 2018 2019 sở GD ĐT Quảng Bình

1

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 2018-2019 Khóa ngày 14 tháng 3 năm 2019 Môn thi: TOÁN

Họ tên: ……………………

SBD: ………………………

LỚP 12 THPT Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Đề gồm có 01 trang Câu 1 (2.0 điểm)

a. Cho hàm số 1 y x = có đồ thị là đường cong ( ) C và điểm 5 5 ; 6 4 I æ ö ç ÷ - ç ÷ è ø . Viết phương

trình đường thẳng d đi qua I và cắt ( ) C tại hai điểm , M N sao cho I là trung điểm của

MN . b. Cho hàm số 2 2 y x x x m = + - + , với m là tham số. Tìm m để hàm số có cực đại.

Câu 2 (2.0 điểm) a. Giải phương trình sau trên tập số thực :     3 2 7 9 12 3 2 5 3 3 1 . x x x x x x x          

b. Cho sáu thẻ, mỗi thẻ ghi một trong các số của tập { } 1;2;3;4;6;8 E = (các thẻ

khác nhau ghi các số khác nhau). Rút ngẫu nhiên ba thẻ, tính xác suất để rút được ba

thẻ ghi ba số là số đo ba cạnh của một tam giác có góc tù.

Câu 3 (2.0 điểm). Cho tích phân   2

0 sin t I t x x dx  .

a. Tính ( ) I t khi t p = . b. Chứng minh rằng ( ) ( ) 0, I t I t t + - = " Î. Câu 4 (3.0 điểm) Cho khối tứ diện SABC và hai điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh SA, SB sao cho

1 , 2 2 SM SN MA NB = = . Gọi (P) là mặt phẳng đi qua hai điểm M, N và song song với đường

thẳng SC.

a. Trong trường hợp SABC là tứ diện đều cạnh a, xác định và tính theo a diện tích

thiết diện của khối tứ diện SABC với mặt phẳng (P).

b. Trong trường hợp bất kì, mặt phẳng (P) chia tứ diện SABC thành hai phần. Tính

tỉ số thể tích của hai phần đó.

Câu 5 (1.0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương 1 n> ta luôn có: ( ) ( ) log 1 log 2 1 n n n n + > + +

-------------------HẾT-------------------

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1 (2.0 điểm).

a. Cho hàm số 1 y x  có đồ thị là đường cong  C và điểm 5 5 ; 6 4 I       

. Viết phương trình

đường thẳng d đi qua I và cắt  C tại hai điểm , M N sao cho I là trung điểm của MN .

Lời giải

Cách 1:

+ Gọi d đi qua điểm 5 5 ; 6 4 I       

và có hệ số góc k có phương trình là:

5 5 6 4 y k x         

12 10 15 12 kx k y     .

+ Xét phương trình hoành độ giao điểm của  C và d :

1 12 10 15 12 kx k x        2 0

12 10 15 12 0 *

x

g x kx k x

        

+ Đường cong  C cắt d tại hai điểm , M N khi và chỉ khi phương trình  * có hai

nghiệm phân biệt khác 0 .



0 0

0 0

k

g

      

  2 2 0

10 15 4.12 . 0

12 0

k

k k

          



0

219 84 6 1 50 219 84 6 50

k

k

k

                

.

+ Với k thỏa mãn 1 , gọi 1 2 ; x x lần lượt là hoành độ của hai điểm , M N , với 1 2 ; x x là hai

nghiệm của phương trình  * .

+ Theo định lý Vi-et ta có:  

1 2 5 2 3 12 k x x k     .

+ I là trung điểm của MN khi và chỉ khi:

1 2 2 I x x x     5 2 3 5 12 3 k k     3 2 3 4 2 k k k      (thỏa mãn 1 ).

+ Với 3 2 k  ta có phương trình đường thẳng d là: 3 2 5 0 x y    .

Cách 2:

+  1 ; M m C m      

, I là trung điểm của MN nên ta có:

  5 5 1 2 ;2 ; 3 2 I M I M N x x y y m m            

5 3 5 2 ; 3 2 m m m        