Đề thi chọn HSG lớp 12 môn Toán THPT năm 2018 2019 sở GD ĐT Đồng Nai

GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 TỈNH ĐỒNG NAI NĂM 2018 – 2019

Câu 1. (5,0 điểm) Cho hàm số 3 2 2 3( 3) 18 8 y x m x mx , m là tham số.

a) Tìm m để hàm số đã cho đồng biến trên . b) Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm vế hai phía của trục tung. c) Tìm m để giá trị nhô nhất của hàm số đã cho trên đoän [ 1;0] bằng 24

Giải

a) 2 ' 6 6( 3) 18 y x m x m     ,

Hàm số đồng biến trên 2 2 '' 0 9( 3) 108 0 6 9 0 3 y m m m m m             .

b) Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung 0 m c) + Nếu 2 3 ' 6 36 54 m y x x hàm số nghịch biến trên nên giá trị nhô nhất trên [ 1;0] là (0) 8 24 y (vô lí)

+ Nếu 2 1 ' 6 12 18 m y x x thì trên ( 1;0) hàm số nghịch biến nên giá trị nhô nhất trên [ 1;0] là (0) 8 24 y (vô lí)

+ Nếu 2 0 ' 6 18 m y x x thì trên ( 1;0) hàm số đồng biến nên giá trị nhô nhất trên [ 1;0] là ( 1) 3 21 24 1 y m m (loäi)

+ Nếu 3, 0, 1 m m m thì ' 0 y luôn có hai nghiệm là m và 3 . Ta xét các trường hợp sau

 Nếu 0 m thì trên ( 1;0) hàm số đồng biến nên giá trị nhô nhất trên [ 1;0] là ( 1) 24 y 1 m (nhận)  Nếu 1 0 m thì trên ( 1; ) m hàm số đồng biến và trên ( ;0) m hàm số nghịch biến nên giá

trị nhô nhất trên [ 1;0] là ( 1) y hoặc (0) y , mà (0) 24 y (vô lí) và ( 1) 24 1 y m

(loäi)  Nếu 1 m thì trên [ 1;0] hàm số nghịch biến nên giá trị nhô nhất trên [ 1;0] là ( 1) y hoặc (0) y , mà (0) 24 y (vô lí) và ( 1) 24 1 y m (loäi)

Vậy 1 m là giá trị cần tìm

Câu 2. (3,5 điểm)

1) Giâi phương trình 2 1 8.25 8.10 15.2 0 x x x    . 2) Giâi phương trình (1 2sin4 )tan2 1 x x

Giải

1)

2

2 1

5 5 5 5 2 2 8.25 8.10 15.2 0 8. 8. 30 0 1 2 2 5 3 2 2

x

x x

x x x

x x 

                                     

2) Điều kiện 4 2 x k

(1 2sin4 )tan2 1 sin2 2sin4 .sin2 cos2 sin2 cos2 cos6 cos2 x x x x x x x x x x

2 6 2 2 16 4 sin2 cos6 cos 2 cos6 2 2 6 2 2 8 2

x x k x k x x x x

x x k x k

(thôa đk)

Câu 3. (3,5 điểm) Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với mặt phẳng ( ) BCD . Tam giác BCD là

tam giác đều, , 2 AB a BC a .

1) Tính góc giữa hai mặt phẳng ( ) ABC và ( ) BCD

2) Tính theo a khoâng cách giữa hai đường AC và BD

Giải 1) Có ( ) AB BCD mà ( ) ( ) ( ) AB ABC ABC BCD .

Suy ra góc giữa hai mặt phẳng ( ) ABC và ( ) BCD là 0 90

2) Gọi E là trung điểm BD , dựng hình chữ nhật BFCE Gọi H là hình chiếu của B trên AF Ta có ( ) BD FC BD AFC

Suy ra ( , ) ( ,( )) ( ,( )) d BD AC d SB AFC d B AFC (1) BH AF

CF vuông góc BF và AB . Suy ra (2) BH CF

Từ (1) và (2) ( ) BH AFC .

Vậy ( ,( ) ( , ) BH d B AFC d BD AC

Xét tam giác vuông ABF ta có :

2 2 2 2 2 2 . . 3. 3 2 3

BF AB CE AB a a a BH

BF AB CE AB a a

Vậy 3 ( , ) 2 a d BD AC

Câu 4. (3,0 điểm) Trong một tiết học môn Toán, giáo viên mời ba học sinh , , A B C thực hiện trò chơi

chơi như sau : Mỗi bän , , A B C chọn ngẫu nhiên một số nguyên khác 0 thuộc khoâng ( 6;6) và lần

lượt thế vào ba tham số của hàm số 4 2 y ax bx c ; nếu đồ thị hàm số thu được có ba điểm cực trị

đều nằm phía trên trục hoành thì được nhận thưởng. Tính xác suất để ba học sinh , , A B C được nhận

thưởng.

Giải

3 ( ) 10 n

Hàm số có ba cực trị 0 ab

3 2

0 ' 4 2 0 2 (2 ) 0

2

x y ax bx x ax b b x a

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là

2 2 (0; ), ; , ; 2 4 2 4 b b b b A c B c C c a a a a