Đề thi chọn HSG Toán cấp tỉnh THPT năm 2018 sở GD và ĐT Quảng Ninh (Bảng B)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH QUẢNG NINH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT NĂM 2018

Môn thi: TOÁN – Bảng B

Ngày thi: 04/12/2018 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

(Đề thi này có 01 trang)

Bài 1 (4 điểm).

1. Cho hàm số 4 2 2 2(m 1) 1 y x x m m      , với m là tham số. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm

số đã cho có ba điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác đều.

2. Một hộ gia đình cần xây dựng một bể chứa nước, dạng hình hộp chữ nhật có thể tích   3 24 m .Tỉ số

giữa chiều cao của bể và chiều rộng của bể bằng 4. Biết rằng bể chỉ có các mặt bên và mặt đáy (không có

mặt trên). Chiều dài của đáy bể bằng bao nhiêu để xây bể tốn ít nguyên vật liệu nhất.

Bài 2 (4 điểm).

1. Cho tam giác ABC có cạnh , BC a AB c   thỏa mãn 2 .cos 2 .sin 2 2 B B a c a c    , với 2a c  .

Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác cân.

2. Có hai chuồng nhốt thỏ, chuồng thứ nhất nhốt 19 con thỏ lông màu đen và 1 con thỏ lông màu

trắng. Chuồng thứ hai nhốt 13 con thỏ lông màu đen và 2 con thỏ lông màu trắng. Bắt ngẫu nhiên mỗi chuồng đúng một con thỏ. Tính xác suất để bắt được hai con thỏ có màu lông khác nhau.

Bài 3 (3 điểm). Cho ,x y là các số thực dương, giải hệ phương trình

  4

2 2 ( 1)log ( 1)( 1) 16 ( 1)( 1)

4 7 3 99

y x y x y

x xy x y

             

Bài 4 (3 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD, AB = 2 AD. Điểm N

thuộc cạnh AB sao cho 1 4 AN AB  , M là trung điểm của DC . Gọi I là giao điểm của MN và BD .

Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác BIN . Biết điểm (2;1) A , đường thẳng BD có phương

trình 11 2 5 0 x y    , điểm B có hoành độ là số nguyên.

Bài 5 (4 điểm). Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Mặt bên BCC’B’ là hình thoi và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đáy. Góc giữa hai mặt phẳng

(BCC’B’) và (ABB’A’) bằng , với 5 2 tan 4  , hãy tính theo a:

1. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ .

2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C’ và B’C .

Bài 6 (2 điểm). Cho , ,z x y là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1 10 45 16 2 10 2 10 P x y z xy yz xz       

.

------------------------- Hết --------------------------

Họ và tên thí sinh : ........................................................................ Số báo danh: .....................................

Chữ ký của cán bộ coi thi 1: .................................... Chữ ký của cán bộ coi thi 2: .................................

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH QUẢNG NINH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

CẤP TỈNH THPT NĂM 2018

Môn thi: TOÁN – Bảng B

Ngày thi: 04/12/2018 (Hướng dẫn này có 04 trang) Bài Sơ lược lời giải Điểm

Bài 1 4 điểm

1. 2,0 Tập xác định: D 

3 ' 4 4( 1) y x m x   

0,5

Hàm số có 3 điểm cực trị 1 m   0,25 Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là:

2 (0; 1), ( 1; 2), ( 1; 2) A m m B m m C m m           0,5

Ta có

4 ( 1) ( 1)

2 1

AB m m AC

BC m

        

   

Tam giác ABC cân tại A với 1 m  

.

0,25

Xét: 4 3 ( 1) 3( 1) 0 1 3 AB BC m m m         Vậy với 3 1 3 m  đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác đều

0,5

2. 2,0 Gọi chiều cao, chiều rộng, chiều dài của bể lần lượt là , , h x y (m);( 0, 0, 0) h x y   

Ta có:

2

4 4

6 24

h h x x y xyh x

              

0,5

Tổng diện tích xung quanh và diện tích một đáy của bể là: 2 54 2 2 8 S xy xh yh x x     

Xét hàm số 2 54 ( ) 8 , 0 S x x x x   

0,5

Tính 2 54 3 ' 16 ; ' 0 2 S x S x x     

Ta có bảng biến thiên

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại 3 2 x 

x 0 3

2 

' S - 0 +

S

  54

0,25

0,5

Xây bể tốn nguyên vật liệu ít nhất khi diện tích xung quanh cộng với diện tích một mặt

đáy có giá trị nhỏ nhất. Vậy chiều dài của đáy là 8 ( ) 3 y m  là giá trị cần tìm. 0,25

Bài 2

1. 2,0 Bình phương hai vế và hạ bậc ta được:

2 2 (2 )cos (2 )sin 2 2 B B a c a c    (2 )(1 …