Đề thi chọn HSG Toán cấp tỉnh THPT năm 2018 sở GD và ĐT Quảng Ninh (Bảng A)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH QUẢNG NINH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT NĂM 2018

Môn thi: TOÁN – Bảng A

Ngày thi: 04/12/2018 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

(Đề thi này có 01 trang)

Bài 1 (4 điểm). 1. Cho hàm số 4 2 2 2 1 y x mx m    , với m là tham số. Tìm các giá trị của m để đồ thị của hàm số

đã cho có ba điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông. 2. Nhà bạn An muốn đặt thợ làm một bể cá, nguyên liệu bằng kính trong suốt, không có nắp đậy dạng

hình hộp chữ nhật có thể tích chứa được 3 400000 (cm ) nước. Biết rằng chiều cao của bể gấp 2 lần chiều

rộng của bể. Xác định diện tích đáy của bể cá để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất.

Bài 2 (3 điểm). Giải hệ phương trình

2 2 2

3

1 100 2 log 1

2 1

x x y y y

xy x y

        

Bài 3 (4 điểm).

1. Cho tam giác ABC không có góc vuông và có các cạnh , , BC a CA b AB c    . Chứng minh

rằng nếu 2 2 2 2 a b c   và tan tan 2tan A C B   thì ABC  là tam giác đều.

2. Trong cuộc thi văn nghệ do Đoàn thanh niên trường THPT X tổ chức vào tháng 11 năm 2018 với

thể lệ mỗi lớp tham gia một tiết mục. Kết quả có 12 tiết mục đạt giải trong đó: có 4 tiết mục khối 12, có 5

tiết mục khối 11 và 3 tiết mục khối 10. Ban tổ chức chọn ngẫu nhiên 5 tiết mục biểu diễn chào mừng ngày

20 tháng 11 (không tính thứ tự biểu diễn). Tính xác suất sao cho khối nào cũng có tiết mục được biểu diễn

và trong đó có ít nhất hai tiết mục của khối 12.

Bài 4 (3 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có 3 góc đều nhọn. Gọi H

là trực tâm của tam giác ABC ; , , M N P lần lượt là giao điểm của , , AH BH CH với đường tròn ngoại tiếp

tam giác ABC . Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC , biết 16 5 7 5 1 1 ; ; ; ; ; 9 9 8 4 3 6 M N P                      

.

Bài 5 (4 điểm). Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Mặt bên BCC’B’ là hình thoi và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đáy. Góc giữa hai mặt phẳng (BCC’B’) và (ABB’A’) bằng .

1. Trong trường hợp 5 2 tan 4  , hãy tính theo a:

a. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ . b. Khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C’ và B’C . 2. Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng chứa hai mặt bên qua CC’ của lăng trụ ABC.A’B’C’ , tìm hệ thức

giữa cot và cot .

Bài 6 (2 điểm). Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn 2 2 2 1 x y z   . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P = 1 1 1 1 1 1 xy yz zx     

.

------------------------- Hết --------------------------

Họ và tên thí sinh : ........................................................................ Số báo danh: .....................................

Chữ ký của cán bộ coi thi 1: .................................... Chữ ký của cán bộ coi thi 2: .................................

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH QUẢNG NINH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

CẤP TỈNH THPT NĂM 2018

Môn thi: TOÁN – Bảng A

Ngày thi: 04/12/2018 (Hướng dẫn này có 05 trang) Bài Sơ lược lời giải Điểm

Bài 1 4 điểm

1.( 2 điểm) TXĐ: D .

Ta có :   2 ' 4 y x x m  

0,5

  2 ' 0 4 0 0 y x x m x       hoặc 2x m 

Hàm số có 3 điểm cực trị ' 0 y   có 3 nghiệm phân biệt 0 m  

0,25

0,25

Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

      2 2 ; 2 1 , 0;2 1 , ; 2 1 A m m m B m C m m m         0,5

Vì hàm số chẵn nên tam giác ABC cân tại B Oy  , A và C đối xứng nhau qua Oy.

ABC là tam giác vuông  tam giác ABC vuông cân tại B

2 . 2 1 AC AB m m m       hoặc 0 m  .

Vậy chọn 1 m .

0,5

2. ( 2 điểm) Gọi a, b, c lần lượt là chiều rộng, dài, cao của hình hộp chữ nhật

(a, b , 0  c ).

Theo bài ra 400000 V abc   và

2 200000 2 2 400000 c a a b ab a     

0,25

0,25

Ta có tổng diện tích xung quanh và diện tích một đáy của bể là

2 2 S ab ac bc   

2 2 4 4 5 4 ab a ab ab a     

2 1000000 4a a   2 125000 125000 4 a a a         

0,25

0,5

2 2 3 125000 125000 125000 125000 4 4.3. . . 30000. S a a a a …