Đề thi chọn HSG lớp 12 môn Toán THPT năm học 2018 2019 sở GD và ĐT Vĩnh Phúc

Nhóm toán VD-VDC

1

ĐỀ VÀ HDG HỌC SINH GIỎI 12 VĨNH PHÚC 2018-2019

Câu 1. Cho hàm số 4 2 14 20 4 y x x x = − + + có đồ thị ( ) C . Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) C biết

tiếp tuyến song song với đường thẳng : 4 15 y x ∆ = − + .

Câu 2. Giải phương trình ( )( ) 2cos 1 2sin cos sin sin 2 x x x x x − + + =

Câu 3. Tìm tất cả các giái trị thực của tham số m để hàm số ( ) 3 2 2 4 3 1 3 3 2 y x m x mx m = + + + − đồng

biến trên khoảng ( ) 1; − +∞.

Câu 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 3 2 3 2 y x x m = − + − có đúng năm điểm

cực trị.

Câu 5. Cho dãy số ( ) nu có số hạng tổng quát ( )

2 1 ln 1

1 nu n

  = −   +    

, ( ) * n ∈ℕ . Tính giá trị của biểu

thức 2018 1 2 2019. . ... u u u H e e e =

Câu 6: Xếp mười học sinh gồm bốn học sinh lớp 12, ba học sinh lớp 11 và ba học sinh lớp 10 ngồi vào một hàng ngang gồm 10 ghế được đánh số từ 1 đến 10. Tính xác suất để không có hai học sinh lớp 12 ngồi cạnh nhau. Câu 7: Cho hai đường thẳng , Ax By chéo nhau, vuông góc và nhận đoạn AB làm đoạn vuông góc

chung. Hai điểm , M N lần lượt di động trên , Ax By sao cho AM BN MN + = . Gọi O là trung

điển của đoạn AB . Chứng minh tam giác OMN là tam giác tù và khoảng cách từ O đến đường thẳng MN không đổi khi , M N khi di động trên , Ax By .

Câu 8: Cho tứ diện ABCD và các điểm , , M N P lần lượt thuộc các cạnh , , BD BC AC sao cho

2 , 4 , 3 = = = BD BM BC BN AC AP . Mặt phẳng ( ) MNP cắt AD tạiQ . Tính tỷ số thể tích hai

phần của khối tứ diện ABCD được chia bởi( ) MNP .

Câu 9: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD , điểm ( ) 3;3 G là trọng tâm

tam giác ABD . Đường thẳng đi qua A vuông góc với BG và cắt BD tại điểm ( ) 1;3 E . Tìm

tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A có tung độ lớn hơn 1.

Câu 10: Cho các số thực , , x y z thuộc khoảng ( ) 0;3 thỏa mãn 2 3 4 1 1 1 1 x y z       − − − =             . Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2

4 9 16 x y z P = + + .

HẾT

Nhóm toán VD-VDC

2

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1. Cho hàm số 4 2 14 20 4 y x x x = − + + có đồ thị ( ) C . Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) C biết

tiếp tuyến song song với đường thẳng : 4 15 y x ∆ = − + .

Lời giải

Tập xác định R .

Ta có ' 3 4 28 20 y x x = − + .

Gọi ( ) 4 2 ; 14 20 4 M a a a a − + + là điểm thuộc đồ thị ( ) C mà tiếp tuyến song song với đường

thẳng : 4 15 y x ∆ = − + . Khi đó ta có:

( ) ( )( ) ' 3 2

1

4 4 28 20 4 1 6 0 3

2

a

y a a a a a a a

a

=   = −⇔ − + = −⇔ − + − = ⇔ = − 

= 

.

Với 1 a = ta có ( ) 1; 11 M ∈∆ khi đó tiếp tuyến tại M chính là ∆ nên loại.

Với 3 a = − ta có ( ) 3; 101 M − , phương trình tiếp tuyến tại M là:

( ) 4 3 101 4 113 y x x = − + − = − − .

Với 2 a = ta có ( ) 2; 4 M , phương trình tiếp tuyến tại M là:

( ) 4 2 4 4 12 y x x = − − + = − + .

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm lần lượt có phương trình là:

4 113; 4 12 y x y x = − − = − + .

Câu 2. Giải phương trình ( )( ) 2cos 1 2sin cos sin sin 2 x x x x x − + + =

Lời giải

Ta có

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

2cos 1 2sin cos sin sin 2

2cos 1 2sin cos sin 2cos 1

2cos 1 sin cos 0

2 3 1 cos 2 2 3 sin cos

4

x x x x x

x x x x x

x x x

x k

x x k x x x k

π π

π π

π π

− + + =

⇔ − + = −

⇔ − + =

= +    =   ⇔ ⇔ = − +   = −   = − + 