Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 môn Toán năm 2018 2019 sở GD và ĐT Quảng Ngãi

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH QUẢNG NGÃI LỚP 12 NĂM HỌC 2018-2019

Ngày thi: 18/10/2018 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1 (5,0 điểm).

a) Giải phương trình

2 2 3sin 3 cos 2sin cos (1 2cos )tan x x x x x x     .

b) Giải hệ phương trình    2

2 2 2

2 7 3 2 3 5

(4 ) 1 1 4

x y x x xy

x y x xy

             .

Câu 2 (3,0 điểm).

Cho hàm số 2 1 1 x y x

   có đồ thị (C). Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng

2 y x m   luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B . Gọi 1 2 , k k lần lượt là hệ

số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm m để biểu thức    2019 2019 1 2 P k k   đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 3 (3,0 điểm). a) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn   1 4 3 7 3 . n n n n C C n       Tìm hệ số của số hạng

chứa 4x trong khai triển nhị thức Niu-tơn 2 3 3 2

n x x       

, 0. x 

b) Có hai chiếc hộp chứa bi, mỗi viên bi chỉ mang màu xanh hoặc màu đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp đúng 1 viên bi. Biết tổng số bi trong hai hộp là 20 và xác suất để lấy

được 2 viên bi màu xanh là 55

84 . Tính xác suất để lấy được 2 viên bi màu đỏ.

Câu 4 (4,0 điểm). Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết 7 , 7 3 AB a BC a   , E là điểm trên cạnh SC và 2 EC ES  . a) Tính thể tích khối chóp . E ABC . b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BE . Câu 5 (3,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD và điểm E thuộc cạnh BC . Đường thẳng qua A và vuông góc với AE cắt CD tại F . Gọi M là trung điểm EF , đường thẳng AM cắt CD tại K . Tìm tọa độ điểm D biết   6;6 , A      4;2 , 3;0 M K   và E có tung độ dương.

Câu 6 (2,0 điểm). Cho các số thực không âm , , a b c thỏa , c a c b   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 64 8( 1) ( ) ( ) a c b c a P a b b c a c ab bc ca a a b

                                

.

ĐỀ CHÍNH THỨC

--------------------------------Hết-------------------------------- Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. SỞ GD-ĐT QUẢNG NGÃI ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỀ CHÍNH THỨC THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

Môn: TOÁN-Lớp 12 (Đáp án – Thang điểm gồm 5 trang) CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Câu 1 (5,0đ) a) (2,0đ). Giải phương trình

2 2 3sin 3 cos 2sin cos (1 2cos )tan x x x x x x     .

+)Điều kiện

1 cos 2 cos 0

tan 0

x

x

x

         

. 0,5

Với điều kiện trên 3sin cos 0 (1)

2sin 3 0 (2)

x x Pt x

       0,5

+)(1) , 6 x k k       0,5

+)

2 3 (2) , 2 2 3

x k k x k

 

 

        

.

Kết hợp điều kiện, suy ra nghiệm của phương trình là

6 , 2 2 3

x k k x k

 

 

        

. 0,5

b) (3,0đ). Giải hệ phương trình

2

2 2 2 (2 7)( 3 2 3 ) 5 (1)

(4 ) 1 1 4 (2)

x y x x xy

x y x xy

            .

+) ĐK:

2 3 3 0

x

x xy

     . 0,5

+) Từ 2 2 1 1 (2) 4 4 (2') y y x x       0,5

Xét hàm số 2 2 ( ) 4 t, ; 3 f t t t              

ta có

2

2 '( ) 1 0, 3 4

t f t t t     .

Suy ra ( ) f t đồng biến trên 2; 3     . Do đó 1 (2') y x   . 0,5

Thay 1 y x  vào (1) ta được (2 7)( 3 2 3) 5 x x x      (3) 0,5