Đề thi chọn HSG Toán cấp tỉnh vòng 2 năm 2018 2019 sở GD và ĐT Long An

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH VÒNG 2 LONG AN NĂM HỌC: 2018-2019

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn thi: TOÁN Ngày thi: 20/9/2018 (Buổi thi thứ nhất) (Đề thi có 01 trang, gồm 04 câu) Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1 (5,0 điểm):

Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: 2 1 . 2 4 2

x y x y

x y x y

          

Câu 2 (5,0 điểm):

Cho hàm số 4 2 2 3 y x mx    (m là tham số thực) có đồ thị   m C . Tìm tất cả các

giá trị của m sao cho trên đồ thị   m C tồn tại duy nhất một điểm mà tiếp tuyến của   m C tại

điểm đó vuông góc với đường thẳng 8 2018 0 x y    .

Câu 3 (5,0 điểm):

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, không cân và nội tiếp đường tròn  O . Gọi H

là chân đường cao kẻ từ A và I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC . Đường

thẳng AI cắt đường tròn  O tại điểm thứ hai M (M khác A). Gọi ' AA là đường kính

của  O . Đường thẳng ' MA cắt các đường thẳng , AH BC theo thứ tự tại N và K . Chứng

minh  0 90 NIK  .

Câu 4 (5,0 điểm):

Cho K là tập hợp các số tự nhiên có bốn chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ K . Tính

xác suất để số được chọn có tổng các chữ số là bội của 4.

---------- HẾT ---------- (Thí sinh không được sử dụng tài liệu – Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

Họ và tên thí sinh: …………………………………………… Số báo danh: ………………………………… Cán bộ coi thi 1 (ký, ghi rõ họ và tên) Cán bộ coi thi 2 (ký, ghi rõ họ và tên)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH VÒNG 2 LONG AN NĂM HỌC: 2018-2019

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn thi: TOÁN Ngày thi: 21/9/2018 (Buổi thi thứ hai) (Đề thi có 01 trang, gồm 03 câu) Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 5 (6,0 điểm):

Cho hàm số : f    thỏa            f xf y f f x f y yf x f x f y      ,

,x y  .

a) Chứng minh rằng: “Nếu tồn tại a  sao cho  0 f a  thì f là đơn ánh”.

b) Tìm tất cả các hàm số f .

Câu 6 (7,0 điểm):

Cho dãy số ( ) n u được xác định như sau:

1

1

2020

. 2018 2( 1), 1,2,3,... 2019 2 n n

u

n u u n n 

           

Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Câu 7 (7,0 điểm):

Có bao nhiêu số tự nhiên có 2018 chữ số, trong mỗi số đó các chữ số đều lớn hơn 1 và

không có hai chữ số khác nhau cùng nhỏ hơn 7 đứng liền nhau?

---------- HẾT ---------- (Thí sinh không được sử dụng tài liệu – Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

Họ và tên thí sinh: …………………………………………… Số báo danh: ………………………………… Cán bộ coi thi 1 (ký, ghi rõ họ và tên) Cán bộ coi thi 2 (ký, ghi rõ họ và tên)

Trang 1/ 3

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH VÒNG 2 LONG AN NĂM HỌC: 2018-2019

Môn thi: TOÁN Ngày thi: 20/9/2018 (Buổi thi thứ nhất) Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) HƯỚNG DẪN CHẤM Cách giải khác nếu đúng thì giám khảo vẫn cho đủ số điểm.

NỘI DUNG ĐIỂM

Câu 1 ( 5,0 điểm):

Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: 2 1 (1) . 2 4 2 (2)

x y x y

x y x y

          

Điều kiện 2 0

4 0

x y

x y

      

. Đặt 2 ( , 0) 4

u x y u v v x y

       

0,5

Ta có:

2 2 2 2

2 2 u v x x u u v

         

1,0

Thay 2

2

x u   vào (1), ta có: 2 3 1 2 2 x x y y x       1,0

Thay 3 2 y x  vào (1), ta có: 7 1 1 14 2 2 2 x x x x      1,0

2

9 77 9 77

9 77

x

x x

x

           

1,0

  3 9 77 2 y    . So điều kiện, hệ có nghiệm 27 3 77 9 77; 2

             

0,5

Câu 2 (5,0 điểm):

Cho hàm số 4 2 2 3 y x mx    (m là tham số thực) có đồ thị   m C . Tìm tất cả các giá trị

của m sao cho trên đồ thị   m C tồn tại duy nhất một điểm mà tiếp tuyến của   m C tại điểm đó

vuông góc với đường thẳng 8 2018 0 x y    .

Tiếp tuyến có hệ số góc bằng 8  0,5

Gọi 0 x là hoành độ tiếp điểm thì 0 x là nghiệm của phương trình 3 2 0 (1) x mx    1,0

Để thỏa yêu cầu bài toán thì (1) có nghiệm duy nhất. 1,0